Математический анализ Примеры

$x^{4} y^{4} = 16$ , $(2, 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 2$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{4} y^{4}) = \frac{d}{d x} (16)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = y^{4}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [y^{4}] + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$x^{4} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$x^{4} (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.2.3

Перенесем $4$ влево от $x^{4}$ .

$4 \cdot x^{4} y^{3} \frac{d}{d x} [y] + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 x^{4} y^{3} y' + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{4} y^{3} y' + y^{4} (4 x^{3})$

Этап 1.2.6

Перенесем $4$ влево от $y^{4}$ .

$4 x^{4} y^{3} y' + 4 y^{4} x^{3}$

Этап 1.3

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$4 x^{4} y^{3} y' + 4 y^{4} x^{3} = 0$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вычтем $4 y^{4} x^{3}$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{4} y^{3} y' = - 4 y^{4} x^{3}$

Этап 1.5.2

Разделим каждый член $4 x^{4} y^{3} y' = - 4 y^{4} x^{3}$ на $4 x^{4} y^{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Разделим каждый член $4 x^{4} y^{3} y' = - 4 y^{4} x^{3}$ на $4 x^{4} y^{3}$ .

$\frac{4 x^{4} y^{3} y'}{4 x^{4} y^{3}} = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

Этап 1.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{4} y^{3} y'}{4 x^{4} y^{3}} = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

Этап 1.5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{4} y^{3} y'}{x^{4} y^{3}} = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

Этап 1.5.2.2.2

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{4} y^{3} y'}{x^{4} y^{3}} = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

Этап 1.5.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

Этап 1.5.2.2.3

Сократим общий множитель $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

Этап 1.5.2.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

Этап 1.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 y^{4} x^{3}$ .

$y' = \frac{4 (- y^{4} x^{3})}{4 x^{4} y^{3}}$

Этап 1.5.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{4} y^{3}$ .

$y' = \frac{4 (- y^{4} x^{3})}{4 (x^{4} y^{3})}$

Этап 1.5.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{4 (- y^{4} x^{3})}{4 (x^{4} y^{3})}$

Этап 1.5.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- y^{4} x^{3}}{x^{4} y^{3}}$

Этап 1.5.2.3.2

Сократим общий множитель $y^{4}$ и $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.2.1

Вынесем множитель $y^{3}$ из $- y^{4} x^{3}$ .

$y' = \frac{y^{3} (- y x^{3})}{x^{4} y^{3}}$

Этап 1.5.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $y^{3}$ из $x^{4} y^{3}$ .

$y' = \frac{y^{3} (- y x^{3})}{y^{3} x^{4}}$

Этап 1.5.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{y^{3} (- y x^{3})}{y^{3} x^{4}}$

Этап 1.5.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- y x^{3}}{x^{4}}$

Этап 1.5.2.3.3

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.3.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $- y x^{3}$ .

$y' = \frac{x^{3} (- y)}{x^{4}}$

Этап 1.5.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{4}$ .

$y' = \frac{x^{3} (- y)}{x^{3} x}$

Этап 1.5.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{x^{3} (- y)}{x^{3} x}$

Этап 1.5.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- y}{x}$

Этап 1.5.2.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y}{x}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 2$ в $y = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$- \frac{y}{2}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{1}{2}$ и координаты заданной точки $(2, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (2))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.4

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.5.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1))$

Этап 2.3.1.5.3

Сократим общий множитель.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.5.4

Перепишем это выражение.

$y - 1 = - \frac{x}{2} - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + 1$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{x}{2} + 1 + 1$

Этап 2.3.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$y = - \frac{x}{2} + 2$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{1}{2} x) + 2$

Этап 2.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{1}{2} x + 2$

Этап 3