Математический анализ Примеры

$x^{2} + 4 x y + y^{2} = 13$ , $(2, 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 2$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (13)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 4 x y + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x y$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$2 x + 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 1.2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x + 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 1.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 1.2.2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + 2 y y'$

Этап 1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 4 (x y') + 4 y + 2 y y'$

Этап 1.2.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 x + 4 x y' + 4 y + 2 y y'$

Этап 1.2.4.3

Изменим порядок членов.

$4 x y' + 2 y y' + 2 x + 4 y$

Этап 1.3

Поскольку $13$ является константой относительно $x$ , производная $13$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$4 x y' + 2 y y' + 2 x + 4 y = 0$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$4 x y' + 2 y y' + 4 y = - 2 x$

Этап 1.5.1.2

Вычтем $4 y$ из обеих частей уравнения.

$4 x y' + 2 y y' = - 2 x - 4 y$

Этап 1.5.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $4 x y' + 2 y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $2 y'$ из $4 x y'$ .

$2 y' (2 x) + 2 y y' = - 2 x - 4 y$

Этап 1.5.2.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y y'$ .

$2 y' (2 x) + 2 y' y = - 2 x - 4 y$

Этап 1.5.2.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' (2 x) + 2 y' y$ .

$2 y' (2 x + y) = - 2 x - 4 y$

Этап 1.5.3

Разделим каждый член $2 y' (2 x + y) = - 2 x - 4 y$ на $2 (2 x + y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Разделим каждый член $2 y' (2 x + y) = - 2 x - 4 y$ на $2 (2 x + y)$ .

$\frac{2 y' (2 x + y)}{2 (2 x + y)} = \frac{- 2 x}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Этап 1.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y' (2 x + y)}{2 (2 x + y)} = \frac{- 2 x}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (2 x + y)}{2 x + y} = \frac{- 2 x}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель $2 x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (2 x + y)}{2 x + y} = \frac{- 2 x}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Этап 1.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Этап 1.5.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Этап 1.5.3.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- x}{2 x + y} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Этап 1.5.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x}{2 x + y} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Этап 1.5.3.3.1.3

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 y$ .

$y' = - \frac{x}{2 x + y} + \frac{2 (- 2 y)}{2 (2 x + y)}$

Этап 1.5.3.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{x}{2 x + y} + \frac{2 (- 2 y)}{2 (2 x + y)}$

Этап 1.5.3.3.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{x}{2 x + y} + \frac{- 2 y}{2 x + y}$

Этап 1.5.3.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x}{2 x + y} - \frac{2 y}{2 x + y}$

Этап 1.5.3.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- x - 2 y}{2 x + y}$

Этап 1.5.3.3.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$y' = \frac{- (x) - 2 y}{2 x + y}$

Этап 1.5.3.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 y$ .

$y' = \frac{- (x) - (2 y)}{2 x + y}$

Этап 1.5.3.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{- (x + 2 y)}{2 x + y}$

Этап 1.5.3.3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.2.5.1

Перепишем $- (x + 2 y)$ в виде $- 1 (x + 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x + 2 y)}{2 x + y}$

Этап 1.5.3.3.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x + 2 y}{2 x + y}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + 2 y}{2 x + y}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 2$ в $y = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$- \frac{(2) + 2 y}{2 (2) + y}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $1$ .

$- \frac{(2) + 2 (1)}{2 (2) + 1}$

Этап 1.7.3

Избавимся от скобок.

$- \frac{(2) + 2 (1)}{2 (2) + 1}$

Этап 1.7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Умножим $2$ на $1$ .

$- \frac{2 + 2}{2 (2) + 1}$

Этап 1.7.4.2

Добавим $2$ и $2$ .

$- \frac{4}{2 (2) + 1}$

Этап 1.7.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{4}{4 + 1}$

Этап 1.7.5.2

Добавим $4$ и $1$ .

$- \frac{4}{5}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{4}{5}$ и координаты заданной точки $(2, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{4}{5} \cdot (x - (2))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 1 = - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = - \frac{4}{5} x - \frac{4}{5} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.4

Объединим $x$ и $\frac{4}{5}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} - \frac{4}{5} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.5

Умножим $- \frac{4}{5} \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + 2 (\frac{4}{5})$

Этап 2.3.1.5.2

Объединим $2$ и $\frac{4}{5}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{2 \cdot 4}{5}$

Этап 2.3.1.5.3

Умножим $2$ на $4$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{8}{5}$

Этап 2.3.1.6

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$y - 1 = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5} + 1$

Этап 2.3.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5} + \frac{5}{5}$

Этап 2.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8 + 5}{5}$

Этап 2.3.2.4

Добавим $8$ и $5$ .

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{13}{5}$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{4}{5} x) + \frac{13}{5}$

Этап 2.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{4}{5} x + \frac{13}{5}$

Этап 3