Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{8} = 16$ , $(4, 8)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 4$ и $y = 8$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{8}) = \frac{d}{d x} (16)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{8}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{2}}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Этап 1.2.2.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Этап 1.2.2.4

Объединим $\frac{2}{2}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Этап 1.2.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Этап 1.2.2.5.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $\frac{1}{8}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{y^{2}}{8}$ по $x$ равна $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$x + \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$x + \frac{1}{8} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x + \frac{1}{8} (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$x + \frac{1}{8} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x + \frac{1}{8} (2 y y')$

Этап 1.2.3.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{8}$ .

$x + \frac{2}{8} (y y')$

Этап 1.2.3.5

Объединим $y$ и $\frac{2}{8}$ .

$x + \frac{y \cdot 2}{8} y'$

Этап 1.2.3.6

Объединим $\frac{y \cdot 2}{8}$ и $y'$ .

$x + \frac{y \cdot 2 y'}{8}$

Этап 1.2.3.7

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$x + \frac{2 \cdot y y'}{8}$

Этап 1.2.3.8

Сократим общий множитель $2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.8.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y y'$ .

$x + \frac{2 (y y')}{8}$

Этап 1.2.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$x + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$x + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$x + \frac{y y'}{4}$

Этап 1.3

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x + \frac{y y'}{4} = 0$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y y'}{4} = - x$

Этап 1.5.2

Умножим обе части уравнения на $4$ .

$4 \frac{y y'}{4} = 4 (- x)$

Этап 1.5.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{y y'}{4} = 4 (- x)$

Этап 1.5.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y y' = 4 (- x)$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y y' = - 4 x$

Этап 1.5.4

Разделим каждый член $y y' = - 4 x$ на $y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Разделим каждый член $y y' = - 4 x$ на $y$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{y}$

Этап 1.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{y}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{y}$

Этап 1.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{4 x}{y}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{y}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 4$ в $y = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$- \frac{4 (4)}{y}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $8$ .

$- \frac{4 (4)}{8}$

Этап 1.7.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 2}$

Этап 1.7.3.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 2}$

Этап 1.7.3.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{4}{2}$

Этап 1.7.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{2 \cdot 2}{2}$

Этап 1.7.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Этап 1.7.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.7.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{2}{1}$

Этап 1.7.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Этап 1.7.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- 2$ и координаты заданной точки $(4, 8)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = - 2 \cdot (x - (4))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 8 = - 2 \cdot (x - 4)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- 2 \cdot (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 8 = 0 + 0 - 2 \cdot (x - 4)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 8 = - 2 \cdot (x - 4)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 8 = - 2 x - 2 \cdot - 4$

Этап 2.3.1.4

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$y - 8 = - 2 x + 8$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$y = - 2 x + 8 + 8$

Этап 2.3.2.2

Добавим $8$ и $8$ .

$y = - 2 x + 16$

Этап 3