Математический анализ Примеры

$\sin (y) = 5 x^{4} - 5$ , $(1, π)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = π$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\sin (y)) = \frac{d}{d x} (5 x^{4} - 5)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$\cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\cos (y) y'$

Этап 1.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $5 x^{4} - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{4}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.3.2.3

Умножим $4$ на $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$20 x^{3} + 0$

Этап 1.3.3.2

Добавим $20 x^{3}$ и $0$ .

$20 x^{3}$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\cos (y) y' = 20 x^{3}$

Этап 1.5

Разделим каждый член $\cos (y) y' = 20 x^{3}$ на $\cos (y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Разделим каждый член $\cos (y) y' = 20 x^{3}$ на $\cos (y)$ .

$\frac{\cos (y) y'}{\cos (y)} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

Этап 1.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Сократим общий множитель $\cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (y) y'}{\cos (y)} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

Этап 1.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 1$ в $y = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$\frac{20 {(1)}^{3}}{\cos (y)}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $π$ .

$\frac{20 {(1)}^{3}}{\cos (π)}$

Этап 1.7.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{20 \cdot 1}{\cos (π)}$

Этап 1.7.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{20 \cdot 1}{- \cos (0)}$

Этап 1.7.4.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{20 \cdot 1}{- 1 \cdot 1}$

Этап 1.7.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{20 \cdot 1}{- 1}$

Этап 1.7.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Умножим $20$ на $1$ .

$\frac{20}{- 1}$

Этап 1.7.5.2

Разделим $20$ на $- 1$ .

$- 20$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- 20$ и координаты заданной точки $(1, π)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (π) = - 20 \cdot (x - (1))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - π = - 20 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- 20 \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - π = 0 + 0 - 20 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - π = - 20 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - π = - 20 x - 20 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.4

Умножим $- 20$ на $- 1$ .

$y - π = - 20 x + 20$

Этап 2.3.2

Добавим $π$ к обеим частям уравнения.

$y = - 20 x + 20 + π$

Этап 3