Математический анализ Примеры

$\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y^{4}} = 2$ , $(1, 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем левую часть в виде рациональных экспонент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{y^{4}} = 2$

Этап 1.1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{y^{4}}$ в виде $y^{\frac{4}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}} = 2$

Этап 1.2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}}) = \frac{d}{d x} (2)$

Этап 1.3

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Этап 1.3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Этап 1.3.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Этап 1.3.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Этап 1.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Этап 1.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Этап 1.3.2.5.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Этап 1.3.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.3.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.3.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} y'$

Этап 1.3.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y'$

Этап 1.3.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y'$

Этап 1.3.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} y'$

Этап 1.3.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 3}{3}} y'$

Этап 1.3.3.6.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{1}{3}} y'$

Этап 1.3.3.7

Объединим $\frac{4}{3}$ и $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3} y'$

Этап 1.3.3.8

Объединим $\frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3}$ и $y'$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Этап 1.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Этап 1.3.4.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Этап 1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 1.5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3} = 0$

Этап 1.6

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

Этап 1.6.2

Вычтем $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.6.3

Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 1.6.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1.1

Упростим $\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1.1.1

Объединим.

$\frac{3 (4 y' y^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 1.6.4.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (4 y' y^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 1.6.4.1.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 1.6.4.1.1.4

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 1.6.4.1.1.5

Разделим $y' y^{\frac{1}{3}}$ на $1$ .

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 1.6.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.2.1

Упростим $\frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ в числитель.

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.6.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.6.4.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.6.4.2.1.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{- 1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.6.4.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.6.5

Разделим каждый член $y' y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$ на $y^{\frac{1}{3}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.1

Разделим каждый член $y' y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$ на $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{y' y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} = \frac{- \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.6.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} = \frac{- \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.6.5.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.6.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y' = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.6.5.3.2

Умножим $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ на $\frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' = - \frac{1}{y^{\frac{1}{3}} (4 x^{\frac{2}{3}})}$

Этап 1.6.5.3.3

Перенесем $4$ влево от $y^{\frac{1}{3}}$ .

$y' = - \frac{1}{4 y^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.7

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4 y^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.8

Найдем значение $x = 1$ в $y = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$- \frac{1}{4 y^{\frac{1}{3}} {(1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.8.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $1$ .

$- \frac{1}{4 {(1)}^{\frac{1}{3}} {(1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.8.3

Умножим ${(1)}^{\frac{1}{3}}$ на ${(1)}^{\frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.3.1

Перенесем ${(1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{1}{4 ({(1)}^{\frac{2}{3}} {(1)}^{\frac{1}{3}})}$

Этап 1.8.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}$

Этап 1.8.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{\frac{2 + 1}{3}}}$

Этап 1.8.3.4

Добавим $2$ и $1$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{\frac{3}{3}}}$

Этап 1.8.3.5

Разделим $3$ на $3$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{1}}$

Этап 1.8.4

Упростим $4 \cdot 1^{1}$ .

$- \frac{1}{4}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{1}{4}$ и координаты заданной точки $(1, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{4} \cdot (x - (1))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = - \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 1 = - \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = - \frac{1}{4} x - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.4

Объединим $x$ и $\frac{1}{4}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.5

Умножим $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{4} + 1 (\frac{1}{4})$

Этап 2.3.1.5.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4} + 1$

Этап 2.3.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Этап 2.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1 + 4}{4}$

Этап 2.3.2.4

Добавим $1$ и $4$ .

$y = - \frac{x}{4} + \frac{5}{4}$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{1}{4} x) + \frac{5}{4}$

Этап 2.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{1}{4} x + \frac{5}{4}$

Этап 3