Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{u \to - 2} u^{2} - u x + 2 u - 2 x}{u^{2} - u - 6}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $u$ к $- 2$ .

$\frac{lim_{u \to - 2} u^{2} - lim_{u \to - 2} u x + lim_{u \to - 2} 2 u - lim_{u \to - 2} 2 x}{u^{2} - u - 6}$

Этап 2

Вынесем степень $2$ в выражении $u^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{u \to - 2} u)}^{2} - lim_{u \to - 2} u x + lim_{u \to - 2} 2 u - lim_{u \to - 2} 2 x}{u^{2} - u - 6}$

Этап 3

Вынесем член $x$ из-под знака предела, так как он не зависит от $u$ .

$\frac{{(lim_{u \to - 2} u)}^{2} - x lim_{u \to - 2} u + lim_{u \to - 2} 2 u - lim_{u \to - 2} 2 x}{u^{2} - u - 6}$

Этап 4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $u$ .

$\frac{{(lim_{u \to - 2} u)}^{2} - x lim_{u \to - 2} u + 2 lim_{u \to - 2} u - lim_{u \to - 2} 2 x}{u^{2} - u - 6}$

Этап 5

Найдем предел $2 x$ , который является константой по мере приближения $u$ к $- 2$ .

$\frac{{(lim_{u \to - 2} u)}^{2} - x lim_{u \to - 2} u + 2 lim_{u \to - 2} u - 2 x}{u^{2} - u - 6}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $- 2$ для всех вхождений $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $u$ , подставив значение $- 2$ для $u$ .

$\frac{{(- 2)}^{2} - x lim_{u \to - 2} u + 2 lim_{u \to - 2} u - 2 x}{u^{2} - u - 6}$

Этап 6.2

Найдем предел $u$ , подставив значение $- 2$ для $u$ .

$\frac{{(- 2)}^{2} - x \cdot - 2 + 2 lim_{u \to - 2} u - 2 x}{u^{2} - u - 6}$

Этап 6.3

Найдем предел $u$ , подставив значение $- 2$ для $u$ .

$\frac{{(- 2)}^{2} - x \cdot - 2 + 2 \cdot - 2 - 2 x}{u^{2} - u - 6}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\frac{4 - x \cdot - 2 + 2 \cdot - 2 - 2 x}{u^{2} - u - 6}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{4 + 2 x + 2 \cdot - 2 - 2 x}{u^{2} - u - 6}$

Этап 7.1.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{4 + 2 x - 4 - 2 x}{u^{2} - u - 6}$

Этап 7.1.4

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{2 x + 0 - 2 x}{u^{2} - u - 6}$

Этап 7.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{2 x - 2 x}{u^{2} - u - 6}$

Этап 7.1.6

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{0}{u^{2} - u - 6}$

Этап 7.2

Разложим $u^{2} - u - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 1$ .

$- 3, 2$

Этап 7.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{0}{(u - 3) (u + 2)}$

Этап 7.3

Разделим $0$ на $(u - 3) (u + 2)$ .

$0$