Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (\frac{π}{2}) - \cot (x)}{\frac{π}{2} - x}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (\frac{π}{2}) - lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}{\frac{π}{2} - x}$

Этап 1.2

Найдем предел $\cot (\frac{π}{2})$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\cot (\frac{π}{2}) - lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}{\frac{π}{2} - x}$

Этап 1.3

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\frac{\cot (\frac{π}{2}) - \cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{\frac{π}{2} - x}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$\frac{\cot (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2} - x}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{\cot (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2} - x}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\cot (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2} - x}$

Этап 3.1.2

Объединим.

$\frac{2 (\cot (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{2}))}{2 (\frac{π}{2} - x)}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cot (\frac{π}{2}) + 2 (- \cot (\frac{π}{2}))}{2 \frac{π}{2} + 2 (- x)}$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cot (\frac{π}{2}) + 2 (- \cot (\frac{π}{2}))}{2 \frac{π}{2} + 2 (- x)}$

Этап 3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \cot (\frac{π}{2}) + 2 (- \cot (\frac{π}{2}))}{π + 2 (- x)}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Точное значение $\cot (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 2 (- \cot (\frac{π}{2}))}{π + 2 (- x)}$

Этап 3.4.2

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0 + 2 (- \cot (\frac{π}{2}))}{π + 2 (- x)}$

Этап 3.4.3

Точное значение $\cot (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{0 + 2 (- 0)}{π + 2 (- x)}$

Этап 3.4.4

Умножим $2 (- 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{π + 2 (- x)}$

Этап 3.4.4.2

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{π + 2 (- x)}$

Этап 3.4.5

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{π + 2 (- x)}$

Этап 3.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{0}{π - 2 x}$

Этап 3.6

Разделим $0$ на $π - 2 x$ .

$0$