Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) - \cos (3 x)}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (3 x)}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Этап 2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (3 x)}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} 3 x)}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Этап 4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \cos (3 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2}) - \cos (3 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2}) - \cos (3 \frac{π}{2})}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{0 - \cos (3 \frac{π}{2})}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Этап 6.1.2

Объединим $3$ и $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0 - \cos (\frac{3 π}{2})}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Этап 6.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{0 - \cos (\frac{π}{2})}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Этап 6.1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{0 - 0}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Этап 6.1.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Этап 6.1.6

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Этап 6.2

Разделим $0$ на $(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})$ .

$0$