Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{t \to 0} e^{2 t} - 1}{\sin (t)}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} e^{2 t} - lim_{t \to 0} 1}{\sin (t)}$

Этап 1.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{lim_{t \to 0} 2 t} - lim_{t \to 0} 1}{\sin (t)}$

Этап 1.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$\frac{e^{2 lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 1}{\sin (t)}$

Этап 1.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $t$ к $0$ .

$\frac{e^{2 lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1}{\sin (t)}$

Этап 2

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$\frac{e^{2 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{\sin (t)}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{\sin (t)}$

Этап 3.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{\sin (t)}$

Этап 3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{\sin (t)}$

Этап 3.1.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{\sin (t)}$

Этап 3.2

Разделим дроби.

$\frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\sin (t)}$

Этап 3.3

Переведем $\frac{1}{\sin (t)}$ в $\csc (t)$ .

$\frac{0}{1} \csc (t)$

Этап 3.4

Разделим $0$ на $1$ .

$0 \csc (t)$

Этап 3.5

Умножим $0$ на $\csc (t)$ .

$0$