Математический анализ Примеры

$lim_{n \to 8} {(\frac{n - 3}{n})}^{n}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(\frac{n - 3}{n})}^{n}$ в виде $e^{\ln ({(\frac{n - 3}{n})}^{n})}$ .

$lim_{n \to 8} e^{\ln ({(\frac{n - 3}{n})}^{n})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(\frac{n - 3}{n})}^{n})$ , вынося $n$ из логарифма.

$lim_{n \to 8} e^{n \ln (\frac{n - 3}{n})}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{n \to 8} n \ln (\frac{n - 3}{n})}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n - 3}{n})}$

Этап 2.3

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} \frac{n - 3}{n})}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n - 3}{lim_{n \to 8} n})}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n - lim_{n \to 8} 3}{lim_{n \to 8} n})}$

Этап 2.6

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 3}{lim_{n \to 8} n})}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 3}{lim_{n \to 8} n})}$

Этап 3.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 3}{lim_{n \to 8} n})}$

Этап 3.3

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 3}{8})}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 3}{8})$ путем переноса $8$ под логарифм.

$e^{\ln ({(\frac{8 - 1 \cdot 3}{8})}^{8})}$

Этап 4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

${(\frac{8 - 1 \cdot 3}{8})}^{8}$

Этап 4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

${(\frac{8 - 3}{8})}^{8}$

Этап 4.3.2

Вычтем $3$ из $8$ .

${(\frac{5}{8})}^{8}$

Этап 4.4

Применим правило умножения к $\frac{5}{8}$ .

$\frac{5^{8}}{8^{8}}$

Этап 4.5

Возведем $5$ в степень $8$ .

$\frac{390625}{8^{8}}$

Этап 4.6

Возведем $8$ в степень $8$ .

$\frac{390625}{16777216}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{390625}{16777216}$

Десятичная форма:

$0.02328306 \dots$