Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (5 x^{2}) + \sin^{2} (3 x)}{x^{2}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (5 x^{2}) + lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}{x^{2}}$

Этап 2

Вынесем степень $2$ в выражении $\sin^{2} (5 x^{2})$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0} \sin (5 x^{2}))}^{2} + lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}{x^{2}}$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} 5 x^{2}) + lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}{x^{2}}$

Этап 4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x^{2}) + lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}{x^{2}}$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sin^{2} (5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}) + lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}{x^{2}}$

Этап 6

Вынесем степень $2$ в выражении $\sin^{2} (3 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sin^{2} (5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}) + {(lim_{x \to 0} \sin (3 x))}^{2}}{x^{2}}$

Этап 7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin^{2} (5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}) + \sin^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)}{x^{2}}$

Этап 8

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sin^{2} (5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}) + \sin^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}{x^{2}}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin^{2} (5 \cdot 0^{2}) + \sin^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}{x^{2}}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin^{2} (5 \cdot 0^{2}) + \sin^{2} (3 \cdot 0)}{x^{2}}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{\sin^{2} (5 \cdot 0) + \sin^{2} (3 \cdot 0)}{x^{2}}$

Этап 10.1.2

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{\sin^{2} (0) + \sin^{2} (3 \cdot 0)}{x^{2}}$

Этап 10.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0^{2} + \sin^{2} (3 \cdot 0)}{x^{2}}$

Этап 10.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0 + \sin^{2} (3 \cdot 0)}{x^{2}}$

Этап 10.1.5

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{0 + \sin^{2} (0)}{x^{2}}$

Этап 10.1.6

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0 + 0^{2}}{x^{2}}$

Этап 10.1.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0 + 0}{x^{2}}$

Этап 10.1.8

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{x^{2}}$

Этап 10.2

Разделим $0$ на $x^{2}$ .

$0$