Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - e^{- x}}{\sin (2 x)}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} e^{- x}}{\sin (2 x)}$

Этап 2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} e^{- x}}{\sin (2 x)}$

Этап 3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - e^{lim_{x \to 0} - x}}{\sin (2 x)}$

Этап 4

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - e^{- lim_{x \to 0} x}}{\sin (2 x)}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{e^{0} - e^{- lim_{x \to 0} x}}{\sin (2 x)}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{e^{0} - e^{0}}{\sin (2 x)}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 - e^{0}}{\sin (2 x)}$

Этап 6.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{\sin (2 x)}$

Этап 6.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{\sin (2 x)}$

Этап 6.1.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{\sin (2 x)}$

Этап 6.2

Разделим дроби.

$\frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}$

Этап 6.3

Переведем $\frac{1}{\sin (2 x)}$ в $\csc (2 x)$ .

$\frac{0}{1} \csc (2 x)$

Этап 6.4

Разделим $0$ на $1$ .

$0 \csc (2 x)$

Этап 6.5

Умножим $0$ на $\csc (2 x)$ .

$0$