Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1 - 5 x}{x^{2}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{5 x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 5 x}{x^{2}}$

Этап 2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} 5 x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 5 x}{x^{2}}$

Этап 3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{e^{5 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 5 x}{x^{2}}$

Этап 4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{e^{5 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 0} 5 x}{x^{2}}$

Этап 5

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{e^{5 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - 5 lim_{x \to 0} x}{x^{2}}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{e^{5 \cdot 0} - 1 \cdot 1 - 5 lim_{x \to 0} x}{x^{2}}$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{e^{5 \cdot 0} - 1 \cdot 1 - 5 \cdot 0}{x^{2}}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1 - 5 \cdot 0}{x^{2}}$

Этап 7.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 5 \cdot 0}{x^{2}}$

Этап 7.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1 - 5 \cdot 0}{x^{2}}$

Этап 7.1.4

Умножим $- 5$ на $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{x^{2}}$

Этап 7.1.5

Добавим $1 - 1$ и $0$ .

$\frac{1 - 1}{x^{2}}$

Этап 7.1.6

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{x^{2}}$

Этап 7.2

Разделим $0$ на $x^{2}$ .

$0$