Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + 3 x} - \sqrt{1 - 2 x}}{x}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + 3 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 2 x}}{x}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + 3 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 2 x}}{x}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 3 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 2 x}}{x}$

Этап 4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} 3 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 2 x}}{x}$

Этап 5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 3 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 2 x}}{x}$

Этап 6

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{1 + 3 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 - 2 x}}{x}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 3 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 x}}{x}$

Этап 8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 3 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{1 - lim_{x \to 0} 2 x}}{x}$

Этап 9

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 3 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{1 - 2 lim_{x \to 0} x}}{x}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 3 \cdot 0} - \sqrt{1 - 2 lim_{x \to 0} x}}{x}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 3 \cdot 0} - \sqrt{1 - 2 \cdot 0}}{x}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0} - \sqrt{1 - 2 \cdot 0}}{x}$

Этап 11.1.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\sqrt{1} - \sqrt{1 - 2 \cdot 0}}{x}$

Этап 11.1.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{1 - 2 \cdot 0}}{x}$

Этап 11.1.4

Умножим $- 2$ на $0$ .

$\frac{1 - \sqrt{1 + 0}}{x}$

Этап 11.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1 - \sqrt{1}}{x}$

Этап 11.1.6

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{x}$

Этап 11.1.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{x}$

Этап 11.1.8

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{x}$

Этап 11.2

Разделим $0$ на $x$ .

$0$