Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 0} {(x + h)}^{3} - x^{3}}{h}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} {(x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} x^{3}}{h}$

Этап 2

Вынесем степень $3$ в выражении ${(x + h)}^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} x^{3}}{h}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} h)}^{3} - lim_{x \to 0} x^{3}}{h}$

Этап 4

Найдем предел $h$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} x^{3}}{h}$

Этап 5

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{h}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{{(0 + h)}^{3} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{h}$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{{(0 + h)}^{3} - 0^{3}}{h}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Добавим $0$ и $h$ .

$\frac{h^{3} - 0^{3}}{h}$

Этап 7.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{h^{3} - 0}{h}$

Этап 7.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{h^{3} + 0}{h}$

Этап 7.1.4

Добавим $h^{3}$ и $0$ .

$\frac{h^{3}}{h}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $h^{3}$ и $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $h$ из $h^{3}$ .

$\frac{h \cdot h^{2}}{h}$

Этап 7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Возведем $h$ в степень $1$ .

$\frac{h \cdot h^{2}}{h^{1}}$

Этап 7.2.2.2

Вынесем множитель $h$ из $h^{1}$ .

$\frac{h \cdot h^{2}}{h \cdot 1}$

Этап 7.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{h \cdot h^{2}}{h \cdot 1}$

Этап 7.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{h^{2}}{1}$

Этап 7.2.2.5

Разделим $h^{2}$ на $1$ .

$h^{2}$