Математический анализ Примеры

\frac{lim x \to \frac{π}{3} 2 {cos}^{2} (x) + 3 cos (x) - 2}{2 cos (x) - 1}

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении

x

$x$ к

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ .

\frac{lim x \to \frac{π}{3} 2 {cos}^{2} (x) + lim x \to \frac{π}{3} 3 cos (x) - lim x \to \frac{π}{3} 2}{2 cos (x) - 1}

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

Этап 2

Вынесем член

2

$2$ из-под знака предела, так как он не зависит от

x

$x$ .

\frac{2 lim x \to \frac{π}{3} {cos}^{2} (x) + lim x \to \frac{π}{3} 3 cos (x) - lim x \to \frac{π}{3} 2}{2 cos (x) - 1}

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

Этап 3

Вынесем степень

2

$2$ в выражении

{cos}^{2} (x)

$\cos^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

\frac{2 {(lim x \to \frac{π}{3} cos (x))}^{2} + lim x \to \frac{π}{3} 3 cos (x) - lim x \to \frac{π}{3} 2}{2 cos (x) - 1}

$\frac{2 {(lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x))}^{2} + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

Этап 4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

\frac{2 {cos}^{2} (lim x \to \frac{π}{3} x) + lim x \to \frac{π}{3} 3 cos (x) - lim x \to \frac{π}{3} 2}{2 cos (x) - 1}

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

Этап 5

Вынесем член

3

$3$ из-под знака предела, так как он не зависит от

x

$x$ .

\frac{2 {cos}^{2} (lim x \to \frac{π}{3} x) + 3 lim x \to \frac{π}{3} cos (x) - lim x \to \frac{π}{3} 2}{2 cos (x) - 1}

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + 3 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

Этап 6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

\frac{2 {cos}^{2} (lim x \to \frac{π}{3} x) + 3 cos (lim x \to \frac{π}{3} x) - lim x \to \frac{π}{3} 2}{2 cos (x) - 1}

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + 3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

Этап 7

Найдем предел

2

$2$ , который является константой по мере приближения

x

$x$ к

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ .

\frac{2 {cos}^{2} (lim x \to \frac{π}{3} x) + 3 cos (lim x \to \frac{π}{3} x) - 1 \cdot 2}{2 cos (x) - 1}

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + 3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - 1 \cdot 2}{2 \cos (x) - 1}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ для всех вхождений

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел

x

$x$ , подставив значение

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ для

x

$x$ .

\frac{2 {cos}^{2} (\frac{π}{3}) + 3 cos (lim x \to \frac{π}{3} x) - 1 \cdot 2}{2 cos (x) - 1}

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - 1 \cdot 2}{2 \cos (x) - 1}$

Этап 8.2

Найдем предел

x

$x$ , подставив значение

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ для

x

$x$ .

\frac{2 {cos}^{2} (\frac{π}{3}) + 3 cos (\frac{π}{3}) - 1 \cdot 2}{2 cos (x) - 1}

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 \cos (\frac{π}{3}) - 1 \cdot 2}{2 \cos (x) - 1}$

\frac{2 {cos}^{2} (\frac{π}{3}) + 3 cos (\frac{π}{3}) - 1 \cdot 2}{2 cos (x) - 1}

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 \cos (\frac{π}{3}) - 1 \cdot 2}{2 \cos (x) - 1}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Для многочлена вида

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно

a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4

$a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ , а сумма —

b = 3

$b = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

2

$2$ .

\frac{2 {cos}^{2} (\frac{π}{3}) + 3 cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 cos (x) - 1}

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 \cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

Этап 9.1.1.1.2

Вынесем множитель

3

$3$ из

3 cos (\frac{π}{3})

$3 \cos (\frac{π}{3})$ .

\frac{2 {cos}^{2} (\frac{π}{3}) + 3 (cos (\frac{π}{3})) - 2}{2 cos (x) - 1}

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 (\cos (\frac{π}{3})) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

Этап 9.1.1.1.3

Запишем

3

$3$ как

- 1

$- 1$ плюс

4

$4$

\frac{2 {cos}^{2} (\frac{π}{3}) + (- 1 + 4) cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 cos (x) - 1}

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + (- 1 + 4) \cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

Этап 9.1.1.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{2 {cos}^{2} (\frac{π}{3}) - 1 cos (\frac{π}{3}) + 4 cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 cos (x) - 1}

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) - 1 \cos (\frac{π}{3}) + 4 \cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

\frac{2 {cos}^{2} (\frac{π}{3}) - 1 cos (\frac{π}{3}) + 4 cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 cos (x) - 1}

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) - 1 \cos (\frac{π}{3}) + 4 \cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

Этап 9.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

\frac{(2 {cos}^{2} (\frac{π}{3}) - 1 cos (\frac{π}{3})) + 4 cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 cos (x) - 1}

$\frac{(2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) - 1 \cos (\frac{π}{3})) + 4 \cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

Этап 9.1.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

\frac{cos (\frac{π}{3}) (2 cos (\frac{π}{3}) - 1) + 2 (2 cos (\frac{π}{3}) - 1)}{2 cos (x) - 1}

$\frac{\cos (\frac{π}{3}) (2 \cos (\frac{π}{3}) - 1) + 2 (2 \cos (\frac{π}{3}) - 1)}{2 \cos (x) - 1}$

\frac{cos (\frac{π}{3}) (2 cos (\frac{π}{3}) - 1) + 2 (2 cos (\frac{π}{3}) - 1)}{2 cos (x) - 1}

$\frac{\cos (\frac{π}{3}) (2 \cos (\frac{π}{3}) - 1) + 2 (2 \cos (\frac{π}{3}) - 1)}{2 \cos (x) - 1}$

Этап 9.1.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель

2 cos (\frac{π}{3}) - 1

$2 \cos (\frac{π}{3}) - 1$ .

\frac{(2 cos (\frac{π}{3}) - 1) (cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 cos (x) - 1}

$\frac{(2 \cos (\frac{π}{3}) - 1) (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

\frac{(2 cos (\frac{π}{3}) - 1) (cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 cos (x) - 1}

$\frac{(2 \cos (\frac{π}{3}) - 1) (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

Этап 9.1.2

Точное значение

cos (\frac{π}{3})

$\cos (\frac{π}{3})$ :

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{(2 (\frac{1}{2}) - 1) (cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 cos (x) - 1}

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) - 1) (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

Этап 9.1.3

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) - 1) (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

Этап 9.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(1 - 1) (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

Этап 9.1.4

Вычтем

$1$ из

$1$ .

$\frac{0 (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

Этап 9.1.5

Точное значение

$\cos (\frac{π}{3})$ :

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{0 (\frac{1}{2} + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

Этап 9.1.6

Чтобы записать

$2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{0 (\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})}{2 \cos (x) - 1}$

Этап 9.1.7

Объединим

$2$ и

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{0 (\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})}{2 \cos (x) - 1}$

Этап 9.1.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{0 \frac{1 + 2 \cdot 2}{2}}{2 \cos (x) - 1}$

Этап 9.1.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.9.1

Умножим

$2$ на

$2$ .

$\frac{0 \frac{1 + 4}{2}}{2 \cos (x) - 1}$

Этап 9.1.9.2

Добавим

$1$ и

$4$ .

$\frac{0 (\frac{5}{2})}{2 \cos (x) - 1}$

Этап 9.2

Умножим

$0$ на

$\frac{5}{2}$ .

$\frac{0}{2 \cos (x) - 1}$

Этап 9.3

Разделим

$0$ на

$2 \cos (x) - 1$ .

$0$