Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - e^{x}}{1 - e^{2 x}}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} e^{x}}{1 - e^{2 x}}$

Этап 1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} e^{x}}{1 - e^{2 x}}$

Этап 1.3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{1 - e^{lim_{x \to 0} x}}{1 - e^{2 x}}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1 - e^{0}}{1 - e^{2 x}}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{1 - e^{2 x}}$

Этап 3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{1 - e^{2 x}}$

Этап 3.1.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{1 - e^{2 x}}$

Этап 3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{0}{1^{2} - e^{2 x}}$

Этап 3.2.2

Перепишем $e^{2 x}$ в виде ${(e^{x})}^{2}$ .

$\frac{0}{1^{2} - {(e^{x})}^{2}}$

Этап 3.2.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = e^{x}$ .

$\frac{0}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

Этап 3.3

Разделим $0$ на $(1 + e^{x}) (1 - e^{x})$ .

$0$