Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (7 x)}{{(3 x)}^{2}}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (7 x)}{{(3 x)}^{2}}$

Этап 1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (7 x)}{{(3 x)}^{2}}$

Этап 1.3

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (7 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1 - {(lim_{x \to 0} \sec (7 x))}^{2}}{{(3 x)}^{2}}$

Этап 1.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{1 - \sec^{2} (lim_{x \to 0} 7 x)}{{(3 x)}^{2}}$

Этап 1.5

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 - \sec^{2} (7 lim_{x \to 0} x)}{{(3 x)}^{2}}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1 - \sec^{2} (7 \cdot 0)}{{(3 x)}^{2}}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Изменим порядок $1$ и $- \sec^{2} (7 \cdot 0)$ .

$\frac{- \sec^{2} (7 \cdot 0) + 1}{{(3 x)}^{2}}$

Этап 3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sec^{2} (7 \cdot 0)$ .

$\frac{- (\sec^{2} (7 \cdot 0)) + 1}{{(3 x)}^{2}}$

Этап 3.3

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- \sec^{2} (7 \cdot 0) - 1 \cdot - 1}{{(3 x)}^{2}}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sec^{2} (7 \cdot 0) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{- (\sec^{2} (7 \cdot 0) - 1)}{{(3 x)}^{2}}$

Этап 3.5

Применим формулу Пифагора.

$\frac{- \tan^{2} (7 \cdot 0)}{{(3 x)}^{2}}$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $7$ на $0$ .

$\frac{- \tan^{2} (0)}{{(3 x)}^{2}}$

Этап 3.6.2

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{- 0^{2}}{{(3 x)}^{2}}$

Этап 3.6.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{- 0}{{(3 x)}^{2}}$

Этап 3.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Применим правило умножения к $3 x$ .

$\frac{- 0}{3^{2} x^{2}}$

Этап 3.7.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{- 0}{9 x^{2}}$

Этап 3.8

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0}{9 x^{2}}$

Этап 3.9

Сократим общий множитель $0$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Вынесем множитель $9$ из $0$ .

$\frac{9 (0)}{9 x^{2}}$

Этап 3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9 x^{2}$ .

$\frac{9 (0)}{9 (x^{2})}$

Этап 3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{9 \cdot 0}{9 x^{2}}$

Этап 3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{x^{2}}$

Этап 3.10

Разделим $0$ на $x^{2}$ .

$0$