Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 0} {(1 + h)}^{4} - 1}{h}$

Этап 1

Найдем предел ${(1 + h)}^{4} - 1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{{(1 + h)}^{4} - 1}{h}$

Этап 2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем ${(1 + h)}^{4}$ в виде ${({(1 + h)}^{2})}^{2}$ .

$\frac{{({(1 + h)}^{2})}^{2} - 1}{h}$

Этап 2.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{{({(1 + h)}^{2})}^{2} - 1^{2}}{h}$

Этап 2.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = {(1 + h)}^{2}$ и $b = 1$ .

$\frac{({(1 + h)}^{2} + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Перепишем ${(1 + h)}^{2}$ в виде $(1 + h) (1 + h)$ .

$\frac{((1 + h) (1 + h) + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Этап 2.1.4.2

Развернем $(1 + h) (1 + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(1 (1 + h) + h (1 + h) + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Этап 2.1.4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 h + h (1 + h) + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Этап 2.1.4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Этап 2.1.4.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{(1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Этап 2.1.4.3.1.2

Умножим $h$ на $1$ .

$\frac{(1 + h + h \cdot 1 + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Этап 2.1.4.3.1.3

Умножим $h$ на $1$ .

$\frac{(1 + h + h + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Этап 2.1.4.3.1.4

Умножим $h$ на $h$ .

$\frac{(1 + h + h + h^{2} + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Этап 2.1.4.3.2

Добавим $h$ и $h$ .

$\frac{(1 + 2 h + h^{2} + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Этап 2.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(2 h + h^{2} + 2) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Этап 2.1.4.5

Изменим порядок членов.

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Этап 2.1.4.6

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ({(1 + h)}^{2} - 1^{2})}{h}$

Этап 2.1.4.7

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1 + h$ и $b = 1$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((1 + h + 1) (1 + h - 1))}{h}$

Этап 2.1.4.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.8.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((h + 2) (1 + h - 1))}{h}$

Этап 2.1.4.8.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((h + 2) (h + 0))}{h}$

Этап 2.1.4.8.3

Добавим $h$ и $0$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((h + 2) h)}{h}$

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2) h}{h}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2) h}{h}$

Этап 2.2.2

Разделим $(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2)$ на $1$ .

$(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2)$

Этап 2.3

Развернем $(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$h^{2} h + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Этап 2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $h^{2}$ на $h$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Умножим $h^{2}$ на $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1.1

Возведем $h$ в степень $1$ .

$h^{2} h^{1} + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Этап 2.4.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$h^{2 + 1} + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Этап 2.4.1.2

Добавим $2$ и $1$ .

$h^{3} + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Этап 2.4.2

Перенесем $2$ влево от $h^{2}$ .

$h^{3} + 2 \cdot h^{2} + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Этап 2.4.3

Умножим $h$ на $h$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Перенесем $h$ .

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 (h \cdot h) + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Этап 2.4.3.2

Умножим $h$ на $h$ .

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 h^{2} + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Этап 2.4.4

Умножим $2$ на $2$ .

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h + 2 h + 2 \cdot 2$

Этап 2.4.5

Умножим $2$ на $2$ .

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h + 2 h + 4$

Этап 2.5

Добавим $2 h^{2}$ и $2 h^{2}$ .

$h^{3} + 4 h^{2} + 4 h + 2 h + 4$

Этап 2.6

Добавим $4 h$ и $2 h$ .

$h^{3} + 4 h^{2} + 6 h + 4$