Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) - \cos (2 x)}{x^{2}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{x^{2}}$

Этап 2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{x^{2}}$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{x^{2}}$

Этап 4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{x^{2}}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\cos (0) - \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{x^{2}}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\cos (0) - \cos (2 \cdot 0)}{x^{2}}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1 - \cos (2 \cdot 0)}{x^{2}}$

Этап 6.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{x^{2}}$

Этап 6.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 6.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{x^{2}}$

Этап 6.1.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{x^{2}}$

Этап 6.2

Разделим $0$ на $x^{2}$ .

$0$