Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (5 x) - 1}{2 x}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (5 x) - lim_{x \to 0} 1}{2 x}$

Этап 1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} 5 x) - lim_{x \to 0} 1}{2 x}$

Этап 1.3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}{2 x}$

Этап 1.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{2 x}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\cos (5 \cdot 0) - 1 \cdot 1}{2 x}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{2 x}$

Этап 3.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{2 x}$

Этап 3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{2 x}$

Этап 3.1.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{2 x}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{2 (0)}{2 x}$

Этап 3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (0)}{2 (x)}$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 0}{2 x}$

Этап 3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{x}$

Этап 3.3

Разделим $0$ на $x$ .

$0$