Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 1.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.1.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.2

Умножим на $1$ .

$\frac{0}{\sin^{2} (x) \cdot 1}$

Этап 3.3

Разделим дроби.

$\frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.4

Переведем $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ в $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{0}{1} \csc^{2} (x)$

Этап 3.5

Разделим $0$ на $1$ .

$0 \csc^{2} (x)$

Этап 3.6

Умножим $0$ на $\csc^{2} (x)$ .

$0$