Математический анализ Примеры

$x^{3} - 7 = 0$ , $a = 2$

Этап 1

Найдем производную $f (x) = x^{3} - 7$ для использования в методе Ньютона.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 1.3

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Этап 1.4

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$3 x^{2}$

Этап 2

Запишем формулу для нахождения приближения $x_{2}$ .

$x_{2} = x_{1} - \frac{f (x_{1})}{f' (x_{1})}$

Этап 3

Подставим значение $x_{1}$ в следующее приближение метода Ньютона.

$x_{2} = 2 - \frac{{(2)}^{3} - 7}{3 {(2)}^{2}}$

Этап 4

Упростим правую часть уравнения, чтобы найти $x_{2}$ .

$x_{2} = 1.91\overline{6}$

Этап 5

Запишем формулу для нахождения приближения $x_{3}$ .

$x_{3} = x_{2} - \frac{f (x_{2})}{f' (x_{2})}$

Этап 6

Подставим значение $x_{2}$ в следующее приближение метода Ньютона.

$x_{3} = 1.91\overline{6} - \frac{{(1.91\overline{6})}^{3} - 7}{3 {(1.91\overline{6})}^{2}}$

Этап 7

Упростим правую часть уравнения, чтобы найти $x_{3}$ .

$x_{3} = 1.91293845$

Этап 8

Запишем формулу для нахождения приближения $x_{4}$ .

$x_{4} = x_{3} - \frac{f (x_{3})}{f' (x_{3})}$

Этап 9

Подставим значение $x_{3}$ в следующее приближение метода Ньютона.

$x_{4} = 1.91293845 - \frac{{(1.91293845)}^{3} - 7}{3 {(1.91293845)}^{2}}$

Этап 10

Упростим правую часть уравнения, чтобы найти $x_{4}$ .

$x_{4} = 1.91293118$

Этап 11

Запишем формулу для нахождения приближения $x_{5}$ .

$x_{5} = x_{4} - \frac{f (x_{4})}{f' (x_{4})}$

Этап 12

Подставим значение $x_{4}$ в следующее приближение метода Ньютона.

$x_{5} = 1.91293118 - \frac{{(1.91293118)}^{3} - 7}{3 {(1.91293118)}^{2}}$

Этап 13

Упростим правую часть уравнения, чтобы найти $x_{5}$ .

$x_{5} = 1.91293118$

Этап 14

Запишем формулу для нахождения приближения $x_{6}$ .

$x_{6} = x_{5} - \frac{f (x_{5})}{f' (x_{5})}$

Этап 15

Подставим значение $x_{5}$ в следующее приближение метода Ньютона.

$x_{6} = 1.91293118 - \frac{{(1.91293118)}^{3} - 7}{3 {(1.91293118)}^{2}}$

Этап 16

Упростим правую часть уравнения, чтобы найти $x_{6}$ .

$x_{6} = 1.91293118$

Этап 17

Поскольку приближения $6 t h$ и $5 t h$ имеют $6$ знаков после десятичного разделителя, $1.91293118$ является приближением корня.

$1.91293118$