Математический анализ Примеры

$y = x + 6 x^{2} - 3 x^{4}$ , $(1, 4)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 4$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x + 6 x^{2} - 3 x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$1 + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $6$ .

$1 + 12 x + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{4}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$1 + 12 x - 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$1 + 12 x - 3 (4 x^{3})$

Этап 1.3.3

Умножим $4$ на $- 3$ .

$1 + 12 x - 12 x^{3}$

Этап 1.4

Изменим порядок членов.

$- 12 x^{3} + 12 x + 1$

Этап 1.5

Найдем производную в $x = 1$ .

$- 12 {(1)}^{3} + 12 (1) + 1$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$- 12 \cdot 1 + 12 (1) + 1$

Этап 1.6.1.2

Умножим $- 12$ на $1$ .

$- 12 + 12 (1) + 1$

Этап 1.6.1.3

Умножим $12$ на $1$ .

$- 12 + 12 + 1$

Этап 1.6.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Добавим $- 12$ и $12$ .

$0 + 1$

Этап 1.6.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $1$ и координаты заданной точки $(1, 4)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = 1 \cdot (x - (1))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 4 = 1 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$y - 4 = x - 1$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$y = x - 1 + 4$

Этап 2.3.2.2

Добавим $- 1$ и $4$ .

$y = x + 3$

Этап 3