Математический анализ Примеры

$y = 3 x - 2 \sqrt{x}$ , $(1, 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $3 x - 2 \sqrt{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.3.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 - 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 1.3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 1.3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 1.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 1.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 1.3.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 1.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 1.3.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 - 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 1.3.10

Объединим $- 2$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 + \frac{- 2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 1.3.11

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{- 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.3.12

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$3 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.3.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.13.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Этап 1.3.13.2

Сократим общий множитель.

$3 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.3.13.3

Перепишем это выражение.

$3 + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.3.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.4

Найдем производную в $x = 1$ .

$3 - \frac{1}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$3 - \frac{1}{1}$

Этап 1.5.1.2

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 - \frac{1}{1}$

Этап 1.5.1.2.2

Перепишем это выражение.

$3 - 1 \cdot 1$

Этап 1.5.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 - 1$

Этап 1.5.2

Вычтем $1$ из $3$ .

$2$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $2$ и координаты заданной точки $(1, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 2 \cdot (x - (1))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = 2 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $2 \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 1 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 1 = 2 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = 2 x + 2 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y - 1 = 2 x - 2$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = 2 x - 2 + 1$

Этап 2.3.2.2

Добавим $- 2$ и $1$ .

$y = 2 x - 1$

Этап 3