Математический анализ Примеры

$y = 4 x + 5 e^{x}$ , $(0, 5)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 0$ и $y = 5$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $4 x + 5 e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 e^{x}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$4 + 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$4 + 5 e^{x}$

Этап 1.4

Изменим порядок членов.

$5 e^{x} + 4$

Этап 1.5

Найдем производную в $x = 0$ .

$5 e^{0} + 4$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$5 \cdot 1 + 4$

Этап 1.6.1.2

Умножим $5$ на $1$ .

$5 + 4$

Этап 1.6.2

Добавим $5$ и $4$ .

$9$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $9$ и координаты заданной точки $(0, 5)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = 9 \cdot (x - (0))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 5 = 9 \cdot (x + 0)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $x$ и $0$ .

$y - 5 = 9 x$

Этап 2.3.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$y = 9 x + 5$

Этап 3