Математический анализ Примеры

$y = x^{4} + 2 e^{x}$ , $(0, 2)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 0$ и $y = 2$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} + 2 e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 e^{x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$4 x^{3} + 2 e^{x}$

Этап 1.3

Найдем производную в $x = 0$ .

$4 {(0)}^{3} + 2 e^{0}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 \cdot 0 + 2 e^{0}$

Этап 1.4.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$0 + 2 e^{0}$

Этап 1.4.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Этап 1.4.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$0 + 2$

Этап 1.4.2

Добавим $0$ и $2$ .

$2$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $2$ и координаты заданной точки $(0, 2)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 2 \cdot (x - (0))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 2 = 2 \cdot (x + 0)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $x$ и $0$ .

$y - 2 = 2 x$

Этап 2.3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = 2 x + 2$

Этап 3