Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{h \to 0} 2 {(a + h)}^{2} - 2 a^{2}}{h}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 2 {(a + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 2 a^{2}}{h}$

Этап 1.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{2 lim_{h \to 0} {(a + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 2 a^{2}}{h}$

Этап 1.3

Вынесем степень $2$ в выражении ${(a + h)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 {(lim_{h \to 0} a + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 2 a^{2}}{h}$

Этап 1.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{2 {(lim_{h \to 0} a + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 2 a^{2}}{h}$

Этап 1.5

Найдем предел $a$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{2 {(a + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 2 a^{2}}{h}$

Этап 1.6

Найдем предел $2 a^{2}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{2 {(a + lim_{h \to 0} h)}^{2} - 2 a^{2}}{h}$

Этап 2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{2 {(a + 0)}^{2} - 2 a^{2}}{h}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(a + 0)}^{2} - 2 a^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(a + 0)}^{2}$ .

$\frac{2 ({(a + 0)}^{2}) - 2 a^{2}}{h}$

Этап 3.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 a^{2}$ .

$\frac{2 ({(a + 0)}^{2}) + 2 (- a^{2})}{h}$

Этап 3.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 ({(a + 0)}^{2}) + 2 (- a^{2})$ .

$\frac{2 ({(a + 0)}^{2} - a^{2})}{h}$

Этап 3.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = a + 0$ и $b = a$ .

$\frac{2 ((a + 0 + a) (a + 0 - a))}{h}$

Этап 3.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Добавим $a$ и $0$ .

$\frac{2 ((a + a) (a + 0 - a))}{h}$

Этап 3.1.3.2

Добавим $a$ и $a$ .

$\frac{2 (2 a (a + 0 - a))}{h}$

Этап 3.1.3.3

Добавим $a$ и $0$ .

$\frac{2 (2 a (a - a))}{h}$

Этап 3.1.3.4

Вычтем $a$ из $a$ .

$\frac{2 (2 a \cdot 0)}{h}$

Этап 3.1.3.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.5.1

Умножим $0$ на $2$ .

$\frac{2 (0 a)}{h}$

Этап 3.1.3.5.2

Умножим $0$ на $a$ .

$\frac{2 \cdot 0}{h}$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0}{h}$

Этап 3.3

Разделим $0$ на $h$ .

$0$