Математический анализ Примеры

$2 \ln (\sec (x))$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вертикальные асимптоты функции $y = \sec (x)$ находятся в точках $x = \frac{π}{2} + n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ для $y = s e c (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = \ln (\sec^{2} (x))$ . Положив аргумент секанса, $b x + c$ , равным $- \frac{π}{2}$ в выражении $y = a \sec (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = \ln (\sec^{2} (x))$ .

$\sec^{2} (x) = - \frac{π}{2}$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sec (x) = \pm \sqrt{- \frac{π}{2}}$

Этап 1.2.2

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{π}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$\sec (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{π}{2}}$

Этап 1.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\sec (x) = \pm i \sqrt{\frac{π}{2}}$

Этап 1.2.2.3

Перепишем $\sqrt{\frac{π}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$

Этап 1.2.2.4

Умножим $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm i (\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 1.2.2.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.1

Умножим $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 1.2.2.5.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 1.2.2.5.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 1.2.2.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 1.2.2.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 1.2.2.5.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.2.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.2.2.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.2.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.2.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 1.2.2.5.6.5

Найдем экспоненту.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2.2.6

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$

Этап 1.2.2.7

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{i \sqrt{π \cdot 2}}{2}$

Этап 1.2.2.8

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$\sec (x) = \pm \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Этап 1.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Этап 1.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sec (x) = - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Этап 1.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}, - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Этап 1.2.4

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

$\sec (x) = - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Этап 1.2.5

Решим относительно $x$ в $\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (\frac{i \sqrt{2 π}}{2})$

Этап 1.2.5.2

The inverse secant of $arcsec (\frac{i \sqrt{2 π}}{2})$ is undefined.

Неопределенные

Этап 1.2.6

Решим относительно $x$ в $\sec (x) = - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (- \frac{i \sqrt{2 π}}{2})$

Этап 1.2.6.2

The inverse secant of $arcsec (- \frac{i \sqrt{2 π}}{2})$ is undefined.

Неопределенные

Этап 1.2.7

Перечислим все решения.

Нет решения

Этап 1.3

Выражение внутри секанса $\sec^{2} (x)$ приравняем $\frac{3 π}{2}$ .

$\sec^{2} (x) = \frac{3 π}{2}$

Этап 1.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sec (x) = \pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$

Этап 1.4.2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{3 π}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$

Этап 1.4.2.2

Умножим $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 1.4.2.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 1.4.2.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 1.4.2.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 1.4.2.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 1.4.2.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 1.4.2.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.4.2.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.4.2.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.4.2.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.4.2.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 1.4.2.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.4.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π \cdot 2}}{2}$

Этап 1.4.2.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Этап 1.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Этап 1.4.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Этап 1.4.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Этап 1.4.4

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Этап 1.4.5

Решим относительно $x$ в $\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (\frac{\sqrt{6 π}}{2})$

Этап 1.4.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.2.1

Найдем значение $arcsec (\frac{\sqrt{6 π}}{2})$ .

$x = 1.09205895$

Этап 1.4.5.3

Функция секанса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 (3.14159265) - 1.09205895$

Этап 1.4.5.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 2 (3.14159265) - 1.09205895$

Этап 1.4.5.4.2

Упростим $2 (3.14159265) - 1.09205895$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.4.2.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.09205895$

Этап 1.4.5.4.2.2

Вычтем $1.09205895$ из $6.2831853$ .

$x = 5.19112635$

Этап 1.4.5.5

Найдем период $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.4.5.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 1.4.5.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 1.4.5.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 1.4.5.6

Период функции $\sec (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.09205895 + 2 π n, 5.19112635 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.4.6

Решим относительно $x$ в $\sec (x) = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (- \frac{\sqrt{6 π}}{2})$

Этап 1.4.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.2.1

Найдем значение $arcsec (- \frac{\sqrt{6 π}}{2})$ .

$x = 2.0495337$

Этап 1.4.6.3

Функция секанса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 (3.14159265) - 2.0495337$

Этап 1.4.6.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 2 (3.14159265) - 2.0495337$

Этап 1.4.6.4.2

Упростим $2 (3.14159265) - 2.0495337$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.4.2.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.0495337$

Этап 1.4.6.4.2.2

Вычтем $2.0495337$ из $6.2831853$ .

$x = 4.2336516$

Этап 1.4.6.5

Найдем период $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.4.6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 1.4.6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 1.4.6.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 1.4.6.6

Период функции $\sec (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2.0495337 + 2 π n, 4.2336516 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.4.7

Перечислим все решения.

$x = 1.09205895 + 2 π n, 5.19112635 + 2 π n, 2.0495337 + 2 π n, 4.2336516 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.4.8

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.8.1

Объединим $1.09205895 + 2 π n$ и $4.2336516 + 2 π n$ в $1.09205895 + π n$ .

$x = 1.09205895 + π n, 5.19112635 + 2 π n, 2.0495337 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.4.8.2

Объединим $5.19112635 + 2 π n$ и $2.0495337 + 2 π n$ в $2.0495337 + π n$ .

$x = 1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.5

Основной период $y = \ln (\sec^{2} (x))$ находится на промежутке $(, 1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n)$ , где и $1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n$ являются вертикальными асимптотами.

$(, 1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n)$

Этап 1.6

Найдем период $\frac{2 π}{| b |}$ , чтобы узнать, где существуют вертикальные асимптоты. Вертикальные асимптоты встречаются каждую половину периода.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 1.6.2

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 1.7

Вертикальные асимптоты $y = \ln (\sec^{2} (x))$ находятся в , $1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n$ и в каждой точке $π n$ , где $n$ — целое число. Это половина периода.

$π n$

Этап 1.8

У секанса и косеканса есть только вертикальные асимптоты.

Вертикальные асимптоты: $x = π n$ для всех целых $n$

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = π n$ для всех целых $n$

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Этап 2

Найдем точку в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 2 \ln (\sec (1))$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Найдем значение $\sec (1)$ .

$f (1) = 2 \ln (1.85081571)$

Этап 2.2.2

Упростим $2 \ln (1.85081571)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f (1) = \ln ({1.85081571}^{2})$

Этап 2.2.3

Возведем $1.85081571$ в степень $2$ .

$f (1) = \ln (3.42551882)$

Этап 2.2.4

Окончательный ответ: $\ln (3.42551882)$ .

$\ln (3.42551882)$

Этап 3

Найдем точку в $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = 2 \ln (\sec (5))$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Найдем значение $\sec (5)$ .

$f (5) = 2 \ln (3.52532008)$

Этап 3.2.2

Упростим $2 \ln (3.52532008)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f (5) = \ln ({3.52532008}^{2})$

Этап 3.2.3

Возведем $3.52532008$ в степень $2$ .

$f (5) = \ln (12.4278817)$

Этап 3.2.4

Окончательный ответ: $\ln (12.4278817)$ .

$\ln (12.4278817)$

Этап 4

Найдем точку в $x = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f (6) = 2 \ln (\sec (6))$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Найдем значение $\sec (6)$ .

$f (6) = 2 \ln (1.04148192)$

Этап 4.2.2

Упростим $2 \ln (1.04148192)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f (6) = \ln ({1.04148192}^{2})$

Этап 4.2.3

Возведем $1.04148192$ в степень $2$ .

$f (6) = \ln (1.0846846)$

Этап 4.2.4

Окончательный ответ: $\ln (1.0846846)$ .

$\ln (1.0846846)$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$ и точек $(1, 1.23125294), (5, 2.51994247), (6, 0.08128925)$ .

Вертикальная асимптота: $x = π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1.231 \\ 5 & 2.52 \\ 6 & 0.081 \end{array}$

Этап 6