Математический анализ Примеры

$k \sqrt{x} - \ln (x)$

Этап 1

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $\ln (x)$ к обеим частям уравнения.

$y \sqrt{x} = \ln (x)$

Этап 1.2

Разделим каждый член $y \sqrt{x} = \ln (x)$ на $\sqrt{x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим каждый член $y \sqrt{x} = \ln (x)$ на $\sqrt{x}$ .

$\frac{y \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

Этап 1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

Этап 1.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

Этап 1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим $\frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Этап 1.2.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Умножим $\frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Этап 1.2.3.2.2

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Этап 1.2.3.2.3

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Этап 1.2.3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Этап 1.2.3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 1.2.3.2.6

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.2.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x^{1}}$

Этап 1.2.3.2.6.5

Упростим.

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$

Этап 2

Найдем область определения $k \sqrt{x} - \ln (x) = 0$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ , то есть список точек, которые помогут составить график корня.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим аргумент в $\ln (x)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x > 0$

Этап 2.2

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 2.3

Зададим знаменатель в $\frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 2.4

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > 0}$

Интервальное представление:

$(0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > 0}$

Этап 3

Чтобы найти конечную точку графика выражения с радикалом, подставим $x$ значение $0$ , которое является наименьшим значением в области определения, в уравнение $f (x) = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{\ln (0) \sqrt{0}}{0}$

Этап 3.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

$f (0) = Undefined$

Неопределенные

Этап 4

Конечная точка подкоренного выражения: $(0, Undefined)$ .

$(0, Undefined)$

Этап 5

Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения $x$ , идущие сразу после начала области определения выражения с корнем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ . В данном случае получится точка $(1, 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{\ln (1) \sqrt{1}}{1}$

Этап 5.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Разделим $\ln (1) \sqrt{1}$ на $1$ .

$f (1) = \ln (1) \sqrt{1}$

Этап 5.1.2.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$f (1) = 0 \sqrt{1}$

Этап 5.1.2.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (1) = 0 \cdot 1$

Этап 5.1.2.4

Умножим $0$ на $1$ .

$f (1) = 0$

Этап 5.1.2.5

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 5.2

Подставим значение $x$ $2$ в $f (x) = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ . В данном случае получится точка $(2, \frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2}$

Этап 5.2.2

Окончательный ответ: $\frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2}$

Этап 5.3

График квадратного корня можно построить с помощью точек вокруг вершины $(0, Undefined), (1, 0), (2, 0.49)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & Undefined \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.49 \end{array}$

Этап 6