Математический анализ Примеры

$\ln (\frac{x^{4}}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Приравняем аргумент логарифма к нулю.

$\frac{x^{4}}{{(3 x - 2)}^{3}} = 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Приравняем числитель к нулю.

$x^{4} = 0$

Этап 1.2.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Этап 1.2.2.2

Упростим $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Этап 1.2.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 1.2.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 1.3

Вертикальная асимптота возникает в $x = 0$ .

Вертикальная асимптота: $x = 0$

Этап 2

Найдем точку в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \ln (\frac{{(1)}^{4}}{{(3 (1) - 2)}^{3}})$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \ln (\frac{1}{{(3 (1) - 2)}^{3}})$

Этап 2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $3$ на $1$ .

$f (1) = \ln (\frac{1}{{(3 - 2)}^{3}})$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$f (1) = \ln (\frac{1}{1^{3}})$

Этап 2.2.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \ln (\frac{1}{1})$

Этап 2.2.3

Разделим $1$ на $1$ .

$f (1) = \ln (1)$

Этап 2.2.4

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$f (1) = 0$

Этап 2.2.5

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 2.3

Преобразуем $0$ в десятичное представление.

$y = 0$

Этап 3

Найдем точку в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \ln (\frac{{(2)}^{4}}{{(3 (2) - 2)}^{3}})$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f (2) = \ln (\frac{16}{{(3 (2) - 2)}^{3}})$

Этап 3.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим $3$ на $2$ .

$f (2) = \ln (\frac{16}{{(6 - 2)}^{3}})$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $2$ из $6$ .

$f (2) = \ln (\frac{16}{4^{3}})$

Этап 3.2.2.3

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f (2) = \ln (\frac{16}{64})$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $16$ и $64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вынесем множитель $16$ из $16$ .

$f (2) = \ln (\frac{16 (1)}{64})$

Этап 3.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Вынесем множитель $16$ из $64$ .

$f (2) = \ln (\frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4})$

Этап 3.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (2) = \ln (\frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4})$

Этап 3.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (2) = \ln (\frac{1}{4})$

Этап 3.2.4

Окончательный ответ: $\ln (\frac{1}{4})$ .

$\ln (\frac{1}{4})$

Этап 3.3

Преобразуем $\ln (\frac{1}{4})$ в десятичное представление.

$y = - 1.38629436$

Этап 4

Найдем точку в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \ln (\frac{{(3)}^{4}}{{(3 (3) - 2)}^{3}})$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $3$ в степень $4$ .

$f (3) = \ln (\frac{81}{{(3 (3) - 2)}^{3}})$

Этап 4.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $3$ на $3$ .

$f (3) = \ln (\frac{81}{{(9 - 2)}^{3}})$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $2$ из $9$ .

$f (3) = \ln (\frac{81}{7^{3}})$

Этап 4.2.2.3

Возведем $7$ в степень $3$ .

$f (3) = \ln (\frac{81}{343})$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $\ln (\frac{81}{343})$ .

$\ln (\frac{81}{343})$

Этап 4.3

Преобразуем $\ln (\frac{81}{343})$ в десятичное представление.

$y = - 1.44328129$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = 0$ и точек $(1, 0), (2, - 1.38629436), (3, - 1.44328129)$ .

Вертикальная асимптота: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & - 1.386 \\ 3 & - 1.443 \end{array}$

Этап 6