Математический анализ Примеры

$\ln (x^{2} + 3 x + 7)$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Приравняем аргумент логарифма к нулю.

$x^{2} + 3 x + 7 = 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 3$ и $c = 7$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 7)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $7$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.1.3

Вычтем $28$ из $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.1.4

Перепишем $- 19$ в виде $- 1 (19)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (19)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2}$

Этап 1.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $7$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.1.3

Вычтем $28$ из $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.1.4

Перепишем $- 19$ в виде $- 1 (19)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (19)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2}$

Этап 1.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{19}}{2}$

Этап 1.2.4.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{19}}{2}$

Этап 1.2.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $i \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{19})}{2}$

Этап 1.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - (- i \sqrt{19})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{19})}{2}$

Этап 1.2.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}$

Этап 1.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $7$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.1.3

Вычтем $28$ из $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.1.4

Перепишем $- 19$ в виде $- 1 (19)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (19)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2}$

Этап 1.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{19}}{2}$

Этап 1.2.5.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{19}}{2}$

Этап 1.2.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- i \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{19})}{2}$

Этап 1.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - (i \sqrt{19})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{19})}{2}$

Этап 1.2.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

Этап 1.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

Этап 1.3

Вертикальная асимптота возникает в $x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$ .

Вертикальная асимптота: $x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

Этап 2

Найдем точку в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \ln ({(1)}^{2} + 3 (1) + 7)$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \ln (1 + 3 (1) + 7)$

Этап 2.2.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f (1) = \ln (1 + 3 + 7)$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $1$ и $3$ .

$f (1) = \ln (4 + 7)$

Этап 2.2.2.2

Добавим $4$ и $7$ .

$f (1) = \ln (11)$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $\ln (11)$ .

$\ln (11)$

Этап 2.3

Преобразуем $\ln (11)$ в десятичное представление.

$y = 2.39789527$

Этап 3

Найдем точку в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \ln ({(2)}^{2} + 3 (2) + 7)$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = \ln (4 + 3 (2) + 7)$

Этап 3.2.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f (2) = \ln (4 + 6 + 7)$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $4$ и $6$ .

$f (2) = \ln (10 + 7)$

Этап 3.2.2.2

Добавим $10$ и $7$ .

$f (2) = \ln (17)$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $\ln (17)$ .

$\ln (17)$

Этап 3.3

Преобразуем $\ln (17)$ в десятичное представление.

$y = 2.83321334$

Этап 4

Найдем точку в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \ln ({(3)}^{2} + 3 (3) + 7)$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = \ln (9 + 3 (3) + 7)$

Этап 4.2.1.2

Умножим $3$ на $3$ .

$f (3) = \ln (9 + 9 + 7)$

Этап 4.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим $9$ и $9$ .

$f (3) = \ln (18 + 7)$

Этап 4.2.2.2

Добавим $18$ и $7$ .

$f (3) = \ln (25)$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $\ln (25)$ .

$\ln (25)$

Этап 4.3

Преобразуем $\ln (25)$ в десятичное представление.

$y = 3.21887582$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$ и точек $(1, 2.39789527), (2, 2.83321334), (3, 3.21887582)$ .

Вертикальная асимптота: $x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2.398 \\ 2 & 2.833 \\ 3 & 3.219 \end{array}$

Этап 6