Математический анализ Примеры

\ln (x e^{x})

$\ln (x e^{x})$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем, где выражение

\ln (x) + x

$\ln (x) + x$ не определено.

x \leq 0

$x \leq 0$

Этап 1.2

Поскольку

\ln (x) + x

$\ln (x) + x$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ как

x

$x$

\to

$\to$

0

$0$ слева, а

\ln (x) + x

$\ln (x) + x$

\to

$\to$

- \infty

$- \infty$ как

x

$x$

\to

$\to$

0

$0$ справа, то

x = 0

$x = 0$ — вертикальная асимптота.

x = 0

$x = 0$

Этап 1.3

Игнорируя логарифм, рассмотрим рациональную функцию

R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}

$R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где

n

$n$ — степень числителя, а

m

$m$ — степень знаменателя.

1. Если

n < m

$n < m$ , тогда ось x,

y = 0

$y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если

n = m

$n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия

y = \frac{a}{b}

$y = \frac{a}{b}$ .

3. Если

n > m

$n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 1.4

Горизонтальные асимптоты отсутствуют, поскольку

Q (x)

$Q (x)$ равно

1

$1$ .

Нет горизонтальных асимптот

Этап 1.5

У логарифмических и тригонометрических функций нет наклонных асимптот.

Нет наклонных асимптот

Этап 1.6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты:

x = 0

$x = 0$

Нет горизонтальных асимптот

Вертикальные асимптоты:

x = 0

$x = 0$

Нет горизонтальных асимптот

Этап 2

Найдем точку в

x = 1

$x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

1

$1$ .

f (1) = \ln ((1) \cdot e^{1})

$f (1) = \ln ((1) \cdot e^{1})$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим

e^{1}

$e^{1}$ на

1

$1$ .

f (1) = \ln (e)

$f (1) = \ln (e)$

Этап 2.2.2

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести

1

$1$ из степени.

f (1) = 1 \ln (e)

$f (1) = 1 \ln (e)$

Этап 2.2.3

Умножим

\ln (e)

$\ln (e)$ на

1

$1$ .

f (1) = \ln (e)

$f (1) = \ln (e)$

Этап 2.2.4

Натуральный логарифм

e

$e$ равен

1

$1$ .

f (1) = 1

$f (1) = 1$

Этап 2.2.5

Окончательный ответ:

1

$1$ .

1

$1$

1

$1$

Этап 2.3

Преобразуем

1

$1$ в десятичное представление.

y = 1

$y = 1$

y = 1

$y = 1$

Этап 3

Найдем точку в

x = 2

$x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

2

$2$ .

f (2) = \ln ((2) \cdot e^{2})

$f (2) = \ln ((2) \cdot e^{2})$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим

2

$2$ на

e^{2}

$e^{2}$ .

f (2) = \ln (2 e^{2})

$f (2) = \ln (2 e^{2})$

Этап 3.2.2

Окончательный ответ:

\ln (2 e^{2})

$\ln (2 e^{2})$ .

\ln (2 e^{2})

$\ln (2 e^{2})$

\ln (2 e^{2})

$\ln (2 e^{2})$

Этап 3.3

Преобразуем

\ln (2 e^{2})

$\ln (2 e^{2})$ в десятичное представление.

y = 2.69314718

$y = 2.69314718$

y = 2.69314718

$y = 2.69314718$

Этап 4

Найдем точку в

x = 3

$x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

3

$3$ .

f (3) = \ln ((3) \cdot e^{3})

$f (3) = \ln ((3) \cdot e^{3})$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим

3

$3$ на

e^{3}

$e^{3}$ .

f (3) = \ln (3 e^{3})

$f (3) = \ln (3 e^{3})$

Этап 4.2.2

Окончательный ответ:

\ln (3 e^{3})

$\ln (3 e^{3})$ .

\ln (3 e^{3})

$\ln (3 e^{3})$

\ln (3 e^{3})

$\ln (3 e^{3})$

Этап 4.3

Преобразуем

\ln (3 e^{3})

$\ln (3 e^{3})$ в десятичное представление.

y = 4.09861228

$y = 4.09861228$

y = 4.09861228

$y = 4.09861228$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке

x = 0

$x = 0$ и точек

(1, 1), (2, 2.69314718), (3, 4.09861228)

$(1, 1), (2, 2.69314718), (3, 4.09861228)$ .

Вертикальная асимптота:

x = 0

$x = 0$

\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1 \\ 2 & 2.693 \\ 3 & 4.099 \end{array}

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1 \\ 2 & 2.693 \\ 3 & 4.099 \end{array}$

Этап 6