Математический анализ Примеры

$\ln (x e^{\sqrt{x}} + 2)$

Этап 1

Найдем область определения $y = \ln (x e^{\sqrt{x}} + 2)$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ , то есть список точек, которые помогут составить график корня.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим аргумент в $\ln (x e^{\sqrt{x}} + 2)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x e^{\sqrt{x}} + 2 > 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

Нет решения

Этап 1.2.2

Найдем область определения $x e^{\sqrt{x}} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 1.2.2.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[0, \infty)$

Этап 1.2.3

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x > 0$

Этап 1.3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 1.4

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > 0}$

Интервальное представление:

$(0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > 0}$

Этап 2

Чтобы найти конечную точку графика выражения с радикалом, подставим $x$ значение $0$ , которое является наименьшим значением в области определения, в уравнение $f (x) = \ln (x e^{\sqrt{x}} + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \ln ((0) \cdot e^{\sqrt{0}} + 2)$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$f (0) = \ln ((0) \cdot e^{\sqrt{0}} + 2)$

Этап 2.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (0) = \ln (0 \cdot e^{\sqrt{0^{2}}} + 2)$

Этап 2.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (0) = \ln (0 \cdot e^{0} + 2)$

Этап 2.2.2.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f (0) = \ln (0 \cdot 1 + 2)$

Этап 2.2.2.4

Умножим $0$ на $1$ .

$f (0) = \ln (0 + 2)$

Этап 2.2.3

Добавим $0$ и $2$ .

$f (0) = \ln (2)$

Этап 2.2.4

Окончательный ответ: $\ln (2)$ .

$\ln (2)$

Этап 3

Конечная точка подкоренного выражения: $(0, \ln (2))$ .

$(0, \ln (2))$

Этап 4

Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения $x$ , идущие сразу после начала области определения выражения с корнем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = \ln (x e^{\sqrt{x}} + 2)$ . В данном случае получится точка $(1, \ln (e + 2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \ln ((1) \cdot e^{\sqrt{1}} + 2)$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (1) = \ln ((1) \cdot e^{\sqrt{1}} + 2)$

Этап 4.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $e^{\sqrt{1}}$ на $1$ .

$f (1) = \ln (e^{\sqrt{1}} + 2)$

Этап 4.1.2.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (1) = \ln (e + 2)$

Этап 4.1.2.2.3

Упростим.

$f (1) = \ln (e + 2)$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $\ln (e + 2)$ .

$y = \ln (e + 2)$

Этап 4.2

Подставим значение $x$ $2$ в $f (x) = \ln (x e^{\sqrt{x}} + 2)$ . В данном случае получится точка $(2, \ln (2 e^{\sqrt{2}} + 2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \ln ((2) \cdot e^{\sqrt{2}} + 2)$

Этап 4.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Избавимся от скобок.

$f (2) = \ln ((2) \cdot e^{\sqrt{2}} + 2)$

Этап 4.2.2.2

Умножим $2$ на $e^{\sqrt{2}}$ .

$f (2) = \ln (2 e^{\sqrt{2}} + 2)$

Этап 4.2.2.3

Окончательный ответ: $\ln (2 e^{\sqrt{2}} + 2)$ .

$y = \ln (2 e^{\sqrt{2}} + 2)$

Этап 4.3

График квадратного корня можно построить с помощью точек вокруг вершины $(0, \ln (2)), (1, 1.55), (2, 2.32)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & \ln (2) \\ 1 & 1.55 \\ 2 & 2.32 \end{array}$

Этап 5