Математический анализ Примеры

$\ln (\sqrt{x + 1})$

Этап 1

Найдем область определения $y = \ln (\sqrt{x + 1})$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ , то есть список точек, которые помогут составить график корня.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим аргумент в $\ln (\sqrt{x + 1})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\sqrt{x + 1} > 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{x + 1}}^{2} > 0^{2}$

Этап 1.2.2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Упростим ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 1)}^{1} > 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Упростим.

$x + 1 > 0^{2}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x + 1 > 0$

Этап 1.2.3

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$x > - 1$

Этап 1.2.4

Найдем область определения $\sqrt{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x + 1}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x + 1 \geq 0$

Этап 1.2.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 1$

Этап 1.2.4.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 1, \infty)$

Этап 1.2.5

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x > - 1$

Этап 1.3

$x + 1 \geq 0$

Этап 1.4

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 1$

Этап 1.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- 1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > - 1}$

Интервальное представление:

$(- 1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > - 1}$

Этап 2

Чтобы найти конечную точку графика выражения с радикалом, подставим $x$ значение $- 1$ , которое является наименьшим значением в области определения, в уравнение $f (x) = \ln (\sqrt{x + 1})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \ln (\sqrt{(- 1) + 1})$

Этап 2.2

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (- 1) = \ln (\sqrt{0})$

Этап 2.3

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (- 1) = \ln (\sqrt{0^{2}})$

Этап 2.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- 1) = \ln (0)$

Этап 2.5

Натуральный логарифм нуля не определен.

$f (- 1) = Undefined$

Неопределенные

Этап 3

Конечная точка подкоренного выражения: $(- 1, Undefined)$ .

$(- 1, Undefined)$

Этап 4

Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения $x$ , идущие сразу после начала области определения выражения с корнем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим значение $x$ $0$ в $f (x) = \ln (\sqrt{x + 1})$ . В данном случае получится точка $(0, 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \ln (\sqrt{(0) + 1})$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Добавим $0$ и $1$ .

$f (0) = \ln (\sqrt{1})$

Этап 4.1.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (0) = \ln (1)$

Этап 4.1.2.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 4.1.2.4

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 4.2

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = \ln (\sqrt{x + 1})$ . В данном случае получится точка $(1, \ln (\sqrt{2}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \ln (\sqrt{(1) + 1})$

Этап 4.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим $1$ и $1$ .

$f (1) = \ln (\sqrt{2})$

Этап 4.2.2.2

Окончательный ответ: $\ln (\sqrt{2})$ .

$y = \ln (\sqrt{2})$

Этап 4.3

График квадратного корня можно построить с помощью точек вокруг вершины $(- 1, Undefined), (0, 0), (1, 0.35)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & Undefined \\ 0 & 0 \\ 1 & 0.35 \end{array}$

Этап 5