Математический анализ Примеры

$\ln (\sqrt{x y})$

Этап 1

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\sqrt{x y})} = e^{0}$

Этап 2

Перепишем $\ln (\sqrt{x y}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \sqrt{x y}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{x y} = e^{0}$ .

$\sqrt{x y} = e^{0}$

Этап 3.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x y}}^{2} = {(e^{0})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x y}$ в виде ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(e^{0})}^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${({(x y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{0})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{0})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x y)}^{1} = {(e^{0})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим.

$x y = {(e^{0})}^{2}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим ${(e^{0})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{0})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x y = e^{0 \cdot 2}$

Этап 3.3.3.1.1.2

Умножим $0$ на $2$ .

$x y = e^{0}$

Этап 3.3.3.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x y = 1$

Этап 3.4

Разделим каждый член $x y = 1$ на $y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разделим каждый член $x y = 1$ на $y$ .

$\frac{x y}{y} = \frac{1}{y}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{y} = \frac{1}{y}$

Этап 3.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{y}$

Этап 4

Найдем значение $y$ в $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{- 1}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - 1$

Этап 4.2.2

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 4.3

Значение $y$ при $x = - 1$ равно $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 5

Найдем значение $y$ в $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{1}{- 2}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 2) = - \frac{1}{2}$

Этап 5.2.2

Окончательный ответ: $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Этап 5.3

Значение $y$ при $x = - 2$ равно $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Этап 6

Найдем значение $y$ в $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{1}{- 3}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 3) = - \frac{1}{3}$

Этап 6.2.2

Окончательный ответ: $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Этап 6.3

Значение $y$ при $x = - 3$ равно $- \frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{1}{3}$

Этап 7

Найдем значение $y$ в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{1}{1}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разделим $1$ на $1$ .

$f (1) = 1$

Этап 7.2.2

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 7.3

Значение $y$ при $x = 1$ равно $1$ .

$y = 1$

Этап 8

Найдем значение $y$ в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{1}{2}$

Этап 8.2

Окончательный ответ: $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 8.3

Значение $y$ при $x = 2$ равно $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Этап 9

Найдем значение $y$ в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \frac{1}{3}$

Этап 9.2

Окончательный ответ: $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Этап 9.3

Значение $y$ при $x = 3$ равно $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{1}{3}$

Этап 10

Перечислим точки для графика.

$(- 1, - 1), (- 2, - 0.5), (- 3, - 0.\overline{3}), (1, 1), (2, 0.5), (3, 0.\overline{3})$

Этап 11

Выберем несколько точек для построения графика.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 0.333 \\ - 2 & - 0.5 \\ - 1 & - 1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 0.5 \\ 3 & 0.333 \end{array}$

Этап 12