Математический анализ Примеры

$\ln (x + \sqrt{x^{2} - 1})$

Этап 1

Найдем значение $y$ в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \ln ((1) + \sqrt{((1) + 1) ((1) - 1)})$

Этап 1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Добавим $1$ и $1$ .

$f (1) = \ln (1 + \sqrt{2 (1 - 1)})$

Этап 1.2.1.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (1) = \ln (1 + \sqrt{2 \cdot 0})$

Этап 1.2.1.3

Умножим $2$ на $0$ .

$f (1) = \ln (1 + \sqrt{0})$

Этап 1.2.1.4

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (1) = \ln (1 + \sqrt{0^{2}})$

Этап 1.2.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (1) = \ln (1 + 0)$

Этап 1.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$f (1) = \ln (1)$

Этап 1.2.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$f (1) = 0$

Этап 1.2.4

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 1.3

Значение $y$ при $x = 1$ равно $0$ .

$y = 0$

Этап 2

Найдем значение $y$ в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \ln ((2) + \sqrt{((2) + 1) ((2) - 1)})$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Добавим $2$ и $1$ .

$f (2) = \ln (2 + \sqrt{3 (2 - 1)})$

Этап 2.2.1.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$f (2) = \ln (2 + \sqrt{3 \cdot 1})$

Этап 2.2.1.3

Умножим $3$ на $1$ .

$f (2) = \ln (2 + \sqrt{3})$

Этап 2.2.2

Окончательный ответ: $\ln (2 + \sqrt{3})$ .

$\ln (2 + \sqrt{3})$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = 2$ равно $\ln (2 + \sqrt{3})$ .

$y = \ln (2 + \sqrt{3})$

Этап 3

Найдем значение $y$ в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \ln ((3) + \sqrt{((3) + 1) ((3) - 1)})$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Добавим $3$ и $1$ .

$f (3) = \ln (3 + \sqrt{4 (3 - 1)})$

Этап 3.2.1.2

Вычтем $1$ из $3$ .

$f (3) = \ln (3 + \sqrt{4 \cdot 2})$

Этап 3.2.1.3

Умножим $4$ на $2$ .

$f (3) = \ln (3 + \sqrt{8})$

Этап 3.2.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (3) = \ln (3 + \sqrt{4 (2)})$

Этап 3.2.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (3) = \ln (3 + \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

Этап 3.2.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (3) = \ln (3 + 2 \sqrt{2})$

Этап 3.2.2

Окончательный ответ: $\ln (3 + 2 \sqrt{2})$ .

$\ln (3 + 2 \sqrt{2})$

Этап 3.3

Значение $y$ при $x = 3$ равно $\ln (3 + 2 \sqrt{2})$ .

$y = \ln (3 + 2 \sqrt{2})$

Этап 4

Перечислим точки для графика.

$(1, 0), (2, 1.31695789), (3, 1.76274717)$

Этап 5

Выберем несколько точек для построения графика.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 1.317 \\ 3 & 1.763 \end{array}$

Этап 6