Математический анализ Примеры

\ln (x + \sqrt{x^{2} - 1})

$\ln (x + \sqrt{x^{2} - 1})$

Этап 1

Найдем значение

y

$y$ в

x = 1

$x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

1

$1$ .

f (1) = \ln ((1) + \sqrt{((1) + 1) ((1) - 1)})

$f (1) = \ln ((1) + \sqrt{((1) + 1) ((1) - 1)})$

Этап 1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

f (1) = \ln (1 + \sqrt{2 (1 - 1)})

$f (1) = \ln (1 + \sqrt{2 (1 - 1)})$

Этап 1.2.1.2

Вычтем

1

$1$ из

1

$1$ .

f (1) = \ln (1 + \sqrt{2 \cdot 0})

$f (1) = \ln (1 + \sqrt{2 \cdot 0})$

Этап 1.2.1.3

Умножим

2

$2$ на

0

$0$ .

f (1) = \ln (1 + \sqrt{0})

$f (1) = \ln (1 + \sqrt{0})$

Этап 1.2.1.4

Перепишем

0

$0$ в виде

0^{2}

$0^{2}$ .

f (1) = \ln (1 + \sqrt{0^{2}})

$f (1) = \ln (1 + \sqrt{0^{2}})$

Этап 1.2.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

f (1) = \ln (1 + 0)

$f (1) = \ln (1 + 0)$

f (1) = \ln (1 + 0)

$f (1) = \ln (1 + 0)$

Этап 1.2.2

Добавим

1

$1$ и

0

$0$ .

f (1) = \ln (1)

$f (1) = \ln (1)$

Этап 1.2.3

Натуральный логарифм

1

$1$ равен

0

$0$ .

f (1) = 0

$f (1) = 0$

Этап 1.2.4

Окончательный ответ:

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$

Этап 1.3

Значение

y

$y$ при

x = 1

$x = 1$ равно

0

$0$ .

y = 0

$y = 0$

y = 0

$y = 0$

Этап 2

Найдем значение

y

$y$ в

x = 2

$x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

2

$2$ .

f (2) = \ln ((2) + \sqrt{((2) + 1) ((2) - 1)})

$f (2) = \ln ((2) + \sqrt{((2) + 1) ((2) - 1)})$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Добавим

2

$2$ и

1

$1$ .

f (2) = \ln (2 + \sqrt{3 (2 - 1)})

$f (2) = \ln (2 + \sqrt{3 (2 - 1)})$

Этап 2.2.1.2

Вычтем

1

$1$ из

2

$2$ .

f (2) = \ln (2 + \sqrt{3 \cdot 1})

$f (2) = \ln (2 + \sqrt{3 \cdot 1})$

Этап 2.2.1.3

Умножим

3

$3$ на

1

$1$ .

f (2) = \ln (2 + \sqrt{3})

$f (2) = \ln (2 + \sqrt{3})$

f (2) = \ln (2 + \sqrt{3})

$f (2) = \ln (2 + \sqrt{3})$

Этап 2.2.2

Окончательный ответ:

\ln (2 + \sqrt{3})

$\ln (2 + \sqrt{3})$ .

\ln (2 + \sqrt{3})

$\ln (2 + \sqrt{3})$

\ln (2 + \sqrt{3})

$\ln (2 + \sqrt{3})$

Этап 2.3

Значение

y

$y$ при

x = 2

$x = 2$ равно

\ln (2 + \sqrt{3})

$\ln (2 + \sqrt{3})$ .

y = \ln (2 + \sqrt{3})

$y = \ln (2 + \sqrt{3})$

y = \ln (2 + \sqrt{3})

$y = \ln (2 + \sqrt{3})$

Этап 3

Найдем значение

y

$y$ в

x = 3

$x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

3

$3$ .

f (3) = \ln ((3) + \sqrt{((3) + 1) ((3) - 1)})

$f (3) = \ln ((3) + \sqrt{((3) + 1) ((3) - 1)})$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Добавим

3

$3$ и

1

$1$ .

f (3) = \ln (3 + \sqrt{4 (3 - 1)})

$f (3) = \ln (3 + \sqrt{4 (3 - 1)})$

Этап 3.2.1.2

Вычтем

1

$1$ из

3

$3$ .

f (3) = \ln (3 + \sqrt{4 \cdot 2})

$f (3) = \ln (3 + \sqrt{4 \cdot 2})$

Этап 3.2.1.3

Умножим

4

$4$ на

2

$2$ .

f (3) = \ln (3 + \sqrt{8})

$f (3) = \ln (3 + \sqrt{8})$

Этап 3.2.1.4

Перепишем

8

$8$ в виде

2^{2} \cdot 2

$2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Вынесем множитель

4

$4$ из

8

$8$ .

f (3) = \ln (3 + \sqrt{4 (2)})

$f (3) = \ln (3 + \sqrt{4 (2)})$

Этап 3.2.1.4.2

Перепишем

4

$4$ в виде

2^{2}

$2^{2}$ .

f (3) = \ln (3 + \sqrt{2^{2} \cdot 2})

$f (3) = \ln (3 + \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

f (3) = \ln (3 + \sqrt{2^{2} \cdot 2})

$f (3) = \ln (3 + \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

Этап 3.2.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

f (3) = \ln (3 + 2 \sqrt{2})

$f (3) = \ln (3 + 2 \sqrt{2})$

f (3) = \ln (3 + 2 \sqrt{2})

$f (3) = \ln (3 + 2 \sqrt{2})$

Этап 3.2.2

Окончательный ответ:

\ln (3 + 2 \sqrt{2})

$\ln (3 + 2 \sqrt{2})$ .

\ln (3 + 2 \sqrt{2})

$\ln (3 + 2 \sqrt{2})$

\ln (3 + 2 \sqrt{2})

$\ln (3 + 2 \sqrt{2})$

Этап 3.3

Значение

y

$y$ при

x = 3

$x = 3$ равно

\ln (3 + 2 \sqrt{2})

$\ln (3 + 2 \sqrt{2})$ .

y = \ln (3 + 2 \sqrt{2})

$y = \ln (3 + 2 \sqrt{2})$

y = \ln (3 + 2 \sqrt{2})

$y = \ln (3 + 2 \sqrt{2})$

Этап 4

Перечислим точки для графика.

(1, 0), (2, 1.31695789), (3, 1.76274717)

$(1, 0), (2, 1.31695789), (3, 1.76274717)$

Этап 5

Выберем несколько точек для построения графика.

\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 1.317 \\ 3 & 1.763 \end{array}

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 1.317 \\ 3 & 1.763 \end{array}$

Этап 6