Математический анализ Примеры

$\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем, где выражение $\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ не определено.

$x \leq - \frac{5}{7}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- \frac{5}{7}$ слева, а $\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- \frac{5}{7}$ справа, то $x = - \frac{5}{7}$ — вертикальная асимптота.

$x = - \frac{5}{7}$

Этап 1.3

Вычислим $lim_{x \to \infty} \frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (7 x + 5)}{lim_{x \to \infty} e^{7 x + 5}}$

Этап 1.3.1.1.2

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{7 x + 5}}$

Этап 1.3.1.1.3

Поскольку показатель степени $7 x + 5$ стремится к $\infty$ , величина $e^{7 x + 5}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.3.1.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.3.1.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Этап 1.3.1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Этап 1.3.1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 7 x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $7 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x + 5]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Этап 1.3.1.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Этап 1.3.1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $7 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Этап 1.3.1.3.3

По правилу суммы производная $7 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Этап 1.3.1.3.4

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Этап 1.3.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Этап 1.3.1.3.6

Умножим $7$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Этап 1.3.1.3.7

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 + 0)}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Этап 1.3.1.3.8

Добавим $7$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} \cdot 7}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Этап 1.3.1.3.9

Объединим $\frac{1}{7 x + 5}$ и $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Этап 1.3.1.3.10

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.10.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $7 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x + 5]}$

Этап 1.3.1.3.10.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{u} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}$

Этап 1.3.1.3.10.3

Заменим все вхождения $u$ на $7 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}$

Этап 1.3.1.3.11

По правилу суммы производная $7 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5])}$

Этап 1.3.1.3.12

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}$

Этап 1.3.1.3.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}$

Этап 1.3.1.3.14

Умножим $7$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 + \frac{d}{d x} [5])}$

Этап 1.3.1.3.15

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 + 0)}$

Этап 1.3.1.3.16

Добавим $7$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} \cdot 7}$

Этап 1.3.1.3.17

Перенесем $7$ влево от $e^{7 x + 5}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{7 e^{7 x + 5}}$

Этап 1.3.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to \infty} \frac{7}{7 x + 5} \cdot \frac{1}{7 e^{7 x + 5}}$

Этап 1.3.1.5

Умножим $\frac{7}{7 x + 5}$ на $\frac{1}{7 e^{7 x + 5}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{7}{(7 x + 5) (7 e^{7 x + 5})}$

Этап 1.3.1.6

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.6.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{7}{(7 x + 5) (7 e^{7 x + 5})}$

Этап 1.3.1.6.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{(7 x + 5) (e^{7 x + 5})}$

Этап 1.3.2

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{(7 x + 5) (e^{7 x + 5})}$ стремится к $0$ .

$0$

Этап 1.4

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = 0$

Этап 1.5

У логарифмических и тригонометрических функций нет наклонных асимптот.

Нет наклонных асимптот

Этап 1.6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{5}{7}$

Горизонтальные асимптоты: $y = 0$

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{5}{7}$

Горизонтальные асимптоты: $y = 0$

Этап 2

Найдем точку в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{\ln (7 (1) + 5)}{e^{7 (1) + 5}}$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $7$ на $1$ .

$f (1) = \frac{\ln (7 + 5)}{e^{7 (1) + 5}}$

Этап 2.2.1.2

Добавим $7$ и $5$ .

$f (1) = \frac{\ln (12)}{e^{7 (1) + 5}}$

Этап 2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $7$ на $1$ .

$f (1) = \frac{\ln (12)}{e^{7 + 5}}$

Этап 2.2.2.2

Добавим $7$ и $5$ .

$f (1) = \frac{\ln (12)}{e^{12}}$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $\frac{\ln (12)}{e^{12}}$ .

$\frac{\ln (12)}{e^{12}}$

Этап 2.3

Преобразуем $\frac{\ln (12)}{e^{12}}$ в десятичное представление.

$y = 1.52677941 \times 10^{- 5}$

Этап 3

Найдем точку в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{\ln (7 (2) + 5)}{e^{7 (2) + 5}}$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $7$ на $2$ .

$f (2) = \frac{\ln (14 + 5)}{e^{7 (2) + 5}}$

Этап 3.2.1.2

Добавим $14$ и $5$ .

$f (2) = \frac{\ln (19)}{e^{7 (2) + 5}}$

Этап 3.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим $7$ на $2$ .

$f (2) = \frac{\ln (19)}{e^{14 + 5}}$

Этап 3.2.2.2

Добавим $14$ и $5$ .

$f (2) = \frac{\ln (19)}{e^{19}}$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $\frac{\ln (19)}{e^{19}}$ .

$\frac{\ln (19)}{e^{19}}$

Этап 3.3

Преобразуем $\frac{\ln (19)}{e^{19}}$ в десятичное представление.

$y = 1.64970922 \times 10^{- 8}$

Этап 4

Найдем точку в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \frac{\ln (7 (3) + 5)}{e^{7 (3) + 5}}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $7$ на $3$ .

$f (3) = \frac{\ln (21 + 5)}{e^{7 (3) + 5}}$

Этап 4.2.1.2

Добавим $21$ и $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (26)}{e^{7 (3) + 5}}$

Этап 4.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $7$ на $3$ .

$f (3) = \frac{\ln (26)}{e^{21 + 5}}$

Этап 4.2.2.2

Добавим $21$ и $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (26)}{e^{26}}$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $\frac{\ln (26)}{e^{26}}$ .

$\frac{\ln (26)}{e^{26}}$

Этап 4.3

Преобразуем $\frac{\ln (26)}{e^{26}}$ в десятичное представление.

$y = 1.66459052 \times 10^{- 11}$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = - \frac{5}{7}$ и точек $(1, 1.52677941), (2, 1.64970922), (3, 1.66459052)$ .

Вертикальная асимптота: $x = - \frac{5}{7}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1.527 \\ 2 & 1.65 \\ 3 & 1.665 \end{array}$

Этап 6