Математический анализ Примеры

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем, где выражение $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ не определено.

$x = 0$

Этап 1.2

Вычислим $lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \ln (x^{2})}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Этап 1.2.1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \ln (x^{2})}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Этап 1.2.1.1.2.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \infty} \ln (x^{2})}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Этап 1.2.1.1.2.2

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$\frac{1 - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Этап 1.2.1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.2.3.1

Произведение ненулевой константы на бесконечность равно бесконечности.

$\frac{1 + - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Этап 1.2.1.1.2.3.2

Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Этап 1.2.1.1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Этап 1.2.1.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{- \infty}{\infty}$

Этап 1.2.1.2

Поскольку $\frac{- \infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.2.1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.2.1.3.2

По правилу суммы производная $1 - \ln (x^{2})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.2.1.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.2.1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (x^{2})$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.2.1.3.4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.2.1.3.4.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.2.1.3.4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.2.1.3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{1}{x^{2}} (2 x))}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.2.1.3.4.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{2}{x^{2}} x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.2.1.3.4.5

Объединим $\frac{2}{x^{2}}$ и $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{2 x}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.2.1.3.4.6

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.4.6.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{x \cdot 2}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.2.1.3.4.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.4.6.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.2.1.3.4.6.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.2.1.3.4.6.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.2.1.3.5

Вычтем $\frac{2}{x}$ из $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.2.1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x}}{3 x^{2}}$

Этап 1.2.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{3 x^{2}}$

Этап 1.2.1.5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.5.1

Умножим $\frac{1}{3 x^{2}}$ на $\frac{2}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{3 x^{2} x}$

Этап 1.2.1.5.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{3 (x^{1} x^{2})}$

Этап 1.2.1.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{3 x^{1 + 2}}$

Этап 1.2.1.5.4

Добавим $1$ и $2$ .

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{3 x^{3}}$

Этап 1.2.2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- lim_{x \to \infty} \frac{2}{3 x^{3}}$

Этап 1.2.2.2

Вынесем член $\frac{2}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- \frac{2}{3} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}$

Этап 1.2.3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{3}}$ стремится к $0$ .

$- \frac{2}{3} \cdot 0$

Этап 1.2.4

Умножим $- \frac{2}{3} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0 (\frac{2}{3})$

Этап 1.2.4.2

Умножим $0$ на $\frac{2}{3}$ .

$0$

Этап 1.3

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = 0$

Этап 1.4

У логарифмических и тригонометрических функций нет наклонных асимптот.

Нет наклонных асимптот

Этап 1.5

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 0$

Горизонтальные асимптоты: $y = 0$

Вертикальные асимптоты: $x = 0$

Горизонтальные асимптоты: $y = 0$

Этап 2

Найдем точку в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{1 - 2 \ln (1)}{{(1)}^{3}}$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$f (1) = \frac{1 - 2 \cdot 0}{1^{3}}$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- 2$ на $0$ .

$f (1) = \frac{1 + 0}{1^{3}}$

Этап 2.2.1.3

Добавим $1$ и $0$ .

$f (1) = \frac{1}{1^{3}}$

Этап 2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \frac{1}{1}$

Этап 2.2.2.2

Разделим $1$ на $1$ .

$f (1) = 1$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 2.3

Преобразуем $1$ в десятичное представление.

$y = 1$

Этап 3

Найдем точку в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{1 - 2 \ln (2)}{{(2)}^{3}}$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $- 2 \ln (2)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f (2) = \frac{1 - \ln (2^{2})}{2^{3}}$

Этап 3.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = \frac{1 - \ln (4)}{2^{3}}$

Этап 3.2.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (2) = \frac{1 - \ln (4)}{8}$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $\frac{1 - \ln (4)}{8}$ .

$\frac{1 - \ln (4)}{8}$

Этап 3.3

Преобразуем $\frac{1 - \ln (4)}{8}$ в десятичное представление.

$y = - 0.04828679$

Этап 4

Найдем точку в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \frac{1 - 2 \ln (3)}{{(3)}^{3}}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим $- 2 \ln (3)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f (3) = \frac{1 - \ln (3^{2})}{3^{3}}$

Этап 4.2.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = \frac{1 - \ln (9)}{3^{3}}$

Этап 4.2.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (3) = \frac{1 - \ln (9)}{27}$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $\frac{1 - \ln (9)}{27}$ .

$\frac{1 - \ln (9)}{27}$

Этап 4.3

Преобразуем $\frac{1 - \ln (9)}{27}$ в десятичное представление.

$y = - 0.04434165$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = 0$ и точек $(1, 1), (2, - 0.04828679), (3, - 0.04434165)$ .

Вертикальная асимптота: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1 \\ 2 & - 0.048 \\ 3 & - 0.044 \end{array}$

Этап 6