Математический анализ Примеры

$\frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{x})}^{3} (\ln (x)))$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем, где выражение $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ не определено.

$x \leq 0$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $0$ слева, а $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $0$ справа, то $x = 0$ — вертикальная асимптота.

$x = 0$

Этап 1.3

Игнорируя логарифм, рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 1.4

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 3$

$m = 3$

Этап 1.5

Поскольку $n = m$ , горизонтальной асимптотой является прямая $y = \frac{a}{b}$ , где $a = 64$ и $b = 3$ .

$y = \frac{64}{3}$

Этап 1.6

У логарифмических и тригонометрических функций нет наклонных асимптот.

Нет наклонных асимптот

Этап 1.7

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 0$

Горизонтальные асимптоты: $y = \frac{64}{3}$

Вертикальные асимптоты: $x = 0$

Горизонтальные асимптоты: $y = \frac{64}{3}$

Этап 2

Найдем точку в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{1})}^{3} (\ln (1)))$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим $1$ на $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + 1)}^{3} \ln (1))$

Этап 2.2.2

Добавим $4$ и $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (5^{3} \ln (1))$

Этап 2.2.3

Возведем $5$ в степень $3$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (125 \ln (1))$

Этап 2.2.4

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (125 \cdot 0)$

Этап 2.2.5

Умножим $125$ на $0$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot 0$

Этап 2.2.6

Умножим $\frac{1}{3}$ на $0$ .

$f (1) = 0$

Этап 2.2.7

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 2.3

Преобразуем $0$ в десятичное представление.

$y = 0$

Этап 3

Найдем точку в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{2})}^{3} (\ln (2)))$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{3} \ln (2))$

Этап 3.2.2

Объединим $4$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})}^{3} \ln (2))$

Этап 3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 2 + 1}{2})}^{3} \ln (2))$

Этап 3.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $4$ на $2$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{8 + 1}{2})}^{3} \ln (2))$

Этап 3.2.4.2

Добавим $8$ и $1$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{9}{2})}^{3} \ln (2))$

Этап 3.2.5

Применим правило умножения к $\frac{9}{2}$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{9^{3}}{2^{3}} \cdot \ln (2))$

Этап 3.2.6

Возведем $9$ в степень $3$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{729}{2^{3}} \cdot \ln (2))$

Этап 3.2.7

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{729}{8} \cdot \ln (2))$

Этап 3.2.8

Упростим $\frac{729}{8} \ln (2)$ путем переноса $\frac{729}{8}$ под логарифм.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot \ln (2^{\frac{729}{8}})$

Этап 3.2.9

Упростим $\frac{1}{3} \ln (2^{\frac{729}{8}})$ путем переноса $\frac{1}{3}$ под логарифм.

$f (2) = \ln ({(2^{\frac{729}{8}})}^{\frac{1}{3}})$

Этап 3.2.10

Перемножим экспоненты в ${(2^{\frac{729}{8}})}^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2) = \ln (2^{\frac{729}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

Этап 3.2.10.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $729$ .

$f (2) = \ln (2^{\frac{3 (243)}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

Этап 3.2.10.2.2

Сократим общий множитель.

$f (2) = \ln (2^{\frac{3 \cdot 243}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

Этап 3.2.10.2.3

Перепишем это выражение.

$f (2) = \ln (2^{\frac{243}{8}})$

Этап 3.2.11

Окончательный ответ: $\ln (2^{\frac{243}{8}})$ .

$\ln (2^{\frac{243}{8}})$

Этап 3.3

Преобразуем $\ln (2^{\frac{243}{8}})$ в десятичное представление.

$y = 21.0543456$

Этап 4

Найдем точку в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{3})}^{3} (\ln (3)))$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3})}^{3} \ln (3))$

Этап 4.2.2

Объединим $4$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3})}^{3} \ln (3))$

Этап 4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 3 + 1}{3})}^{3} \ln (3))$

Этап 4.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Умножим $4$ на $3$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{12 + 1}{3})}^{3} \ln (3))$

Этап 4.2.4.2

Добавим $12$ и $1$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{13}{3})}^{3} \ln (3))$

Этап 4.2.5

Применим правило умножения к $\frac{13}{3}$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{13^{3}}{3^{3}} \cdot \ln (3))$

Этап 4.2.6

Возведем $13$ в степень $3$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{2197}{3^{3}} \cdot \ln (3))$

Этап 4.2.7

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{2197}{27} \cdot \ln (3))$

Этап 4.2.8

Упростим $\frac{2197}{27} \ln (3)$ путем переноса $\frac{2197}{27}$ под логарифм.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (3^{\frac{2197}{27}})$

Этап 4.2.9

Упростим $\frac{1}{3} \ln (3^{\frac{2197}{27}})$ путем переноса $\frac{1}{3}$ под логарифм.

$f (3) = \ln ({(3^{\frac{2197}{27}})}^{\frac{1}{3}})$

Этап 4.2.10

Перемножим экспоненты в ${(3^{\frac{2197}{27}})}^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.10.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{27} \cdot \frac{1}{3}})$

Этап 4.2.10.2

Умножим $\frac{2197}{27} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.10.2.1

Умножим $\frac{2197}{27}$ на $\frac{1}{3}$ .

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{27 \cdot 3}})$

Этап 4.2.10.2.2

Умножим $27$ на $3$ .

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{81}})$

Этап 4.2.11

Окончательный ответ: $\ln (3^{\frac{2197}{81}})$ .

$\ln (3^{\frac{2197}{81}})$

Этап 4.3

Преобразуем $\ln (3^{\frac{2197}{81}})$ в десятичное представление.

$y = 29.79816294$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = 0$ и точек $(1, 0), (2, 21.0543456), (3, 29.79816294)$ .

Вертикальная асимптота: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 21.054 \\ 3 & 29.798 \end{array}$

Этап 6