Математический анализ Примеры

$t \sqrt{\ln (t)}$

Этап 1

Найдем область определения $y = t \sqrt{\ln (t)}$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ , то есть список точек, которые помогут составить график корня.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим аргумент в $\ln (x)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x > 0$

Этап 1.2

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{\ln (x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\ln (x) \geq 0$

Этап 1.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Преобразуем неравенство в равенство.

$\ln (x) = 0$

Этап 1.3.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x)} = e^{0}$

Этап 1.3.2.2

Перепишем $\ln (x) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x$

Этап 1.3.2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.1

Перепишем уравнение в виде $x = e^{0}$ .

$x = e^{0}$

Этап 1.3.2.3.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x = 1$

Этап 1.3.3

Найдем область определения $\ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Зададим аргумент в $\ln (x)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x > 0$

Этап 1.3.3.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(0, \infty)$

Этап 1.3.4

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \geq 1$

Этап 1.4

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq 1}$

Интервальное представление:

$[1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq 1}$

Этап 2

Чтобы найти конечную точку графика выражения с радикалом, подставим $x$ значение $1$ , которое является наименьшим значением в области определения, в уравнение $f (x) = x \sqrt{\ln (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = (1) \sqrt{\ln (1)}$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $\sqrt{\ln (1)}$ на $1$ .

$f (1) = \sqrt{\ln (1)}$

Этап 2.2.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$f (1) = \sqrt{0}$

Этап 2.2.3

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (1) = \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.2.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (1) = 0$

Этап 2.2.5

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3

Конечная точка подкоренного выражения: $(1, 0)$ .

$(1, 0)$

Этап 4

Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения $x$ , идущие сразу после начала области определения выражения с корнем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим значение $x$ $2$ в $f (x) = x \sqrt{\ln (x)}$ . В данном случае получится точка $(2, 2 \sqrt{\ln (2)})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = (2) \sqrt{\ln (2)}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $2$ на $\sqrt{\ln (2)}$ .

$f (2) = 2 \sqrt{\ln (2)}$

Этап 4.1.2.2

Окончательный ответ: $2 \sqrt{\ln (2)}$ .

$y = 2 \sqrt{\ln (2)}$

Этап 4.2

Подставим значение $x$ $3$ в $f (x) = x \sqrt{\ln (x)}$ . В данном случае получится точка $(3, 3 \sqrt{\ln (3)})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = (3) \sqrt{\ln (3)}$

Этап 4.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $3$ на $\sqrt{\ln (3)}$ .

$f (3) = 3 \sqrt{\ln (3)}$

Этап 4.2.2.2

Окончательный ответ: $3 \sqrt{\ln (3)}$ .

$y = 3 \sqrt{\ln (3)}$

Этап 4.3

График квадратного корня можно построить с помощью точек вокруг вершины $(1, 0), (2, 1.67), (3, 3.14)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 1.67 \\ 3 & 3.14 \end{array}$

Этап 5