Математический анализ Примеры

$\log_{5} (\frac{125 \cdot \sqrt{625}}{5^{2} \cdot 25^{2}})$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $625$ в виде $25^{2}$ .

$\log_{5} (\frac{125 \sqrt{25^{2}}}{5^{2} \cdot 25^{2}})$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\log_{5} (\frac{125 \cdot 25}{5^{2} \cdot 25^{2}})$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\log_{5} (\frac{125 \cdot 25}{5^{2} \cdot {(5^{2})}^{2}})$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${(5^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{5} (\frac{125 \cdot 25}{5^{2} \cdot 5^{2 \cdot 2}})$

Этап 2.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\log_{5} (\frac{125 \cdot 25}{5^{2} \cdot 5^{4}})$

Этап 2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{5} (\frac{125 \cdot 25}{5^{2 + 4}})$

Этап 2.4

Добавим $2$ и $4$ .

$\log_{5} (\frac{125 \cdot 25}{5^{6}})$

Этап 3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $125$ на $25$ .

$\log_{5} (\frac{3125}{5^{6}})$

Этап 3.2

Возведем $5$ в степень $6$ .

$\log_{5} (\frac{3125}{15625})$

Этап 3.3

Сократим выражение $\frac{3125}{15625}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $3125$ из $3125$ .

$\log_{5} (\frac{3125 (1)}{15625})$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $3125$ из $15625$ .

$\log_{5} (\frac{3125 \cdot 1}{3125 \cdot 5})$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель.

$\log_{5} (\frac{3125 \cdot 1}{3125 \cdot 5})$

Этап 3.3.4

Перепишем это выражение.

$\log_{5} (\frac{1}{5})$

Этап 4

Перепишем $\frac{1}{5}$ в виде $1 \cdot 5^{- 1}$ .

$\log_{5} (1 \cdot 5^{- 1})$

Этап 5

Перепишем $\log_{5} (1 \cdot 5^{- 1})$ в виде $\log_{5} (1) + \log_{5} (5^{- 1})$ .

$\log_{5} (1) + \log_{5} (5^{- 1})$

Этап 6

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $- 1$ из степени.

$\log_{5} (1) - \log_{5} (5)$

Этап 7

Логарифм $5$ по основанию $5$ равен $1$ .

$\log_{5} (1) - 1 \cdot 1$

Этап 8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\log_{5} (1) - 1$

Этап 9

Логарифм $1$ по основанию $5$ равен $0$ .

$0 - 1$

Этап 10

Вычтем $1$ из $0$ .

$- 1$