Математический анализ Примеры

$\cos^{2} (x) = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$

Этап 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

Этап 2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Этап 2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Этап 3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Этап 3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Этап 3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}, - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Этап 4

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Этап 5

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $\arccos (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

Этап 5.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{3 π}{8}$

Этап 5.4

Упростим $2 π - \frac{3 π}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{8}{8} - \frac{3 π}{8}$

Этап 5.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{8}{8}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 8}{8} - \frac{3 π}{8}$

Этап 5.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 8 - 3 π}{8}$

Этап 5.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Умножим $8$ на $2$ .

$x = \frac{16 π - 3 π}{8}$

Этап 5.4.3.2

Вычтем $3 π$ из $16 π$ .

$x = \frac{13 π}{8}$

Этап 5.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{8} + 2 π n, \frac{13 π}{8} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение $\arccos (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$ .

$x = \frac{5 π}{8}$

Этап 6.3

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - \frac{5 π}{8}$

Этап 6.4

Упростим $2 π - \frac{5 π}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{8}{8} - \frac{5 π}{8}$

Этап 6.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{8}{8}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 8}{8} - \frac{5 π}{8}$

Этап 6.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 8 - 5 π}{8}$

Этап 6.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Умножим $8$ на $2$ .

$x = \frac{16 π - 5 π}{8}$

Этап 6.4.3.2

Вычтем $5 π$ из $16 π$ .

$x = \frac{11 π}{8}$

Этап 6.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{5 π}{8} + 2 π n, \frac{11 π}{8} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Перечислим все решения.

$x = \frac{3 π}{8} + 2 π n, \frac{13 π}{8} + 2 π n, \frac{5 π}{8} + 2 π n, \frac{11 π}{8} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{3 π}{8} + 2 π n$ и $\frac{11 π}{8} + 2 π n$ в $\frac{3 π}{8} + π n$ .

$x = \frac{3 π}{8} + π n, \frac{13 π}{8} + 2 π n, \frac{5 π}{8} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8.2

Объединим $\frac{13 π}{8} + 2 π n$ и $\frac{5 π}{8} + 2 π n$ в $\frac{5 π}{8} + π n$ .

$x = \frac{3 π}{8} + π n, \frac{5 π}{8} + π n$ , для любого целого $n$