Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{\frac{9}{10}} - 6$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $x^{\frac{9}{10}} - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{10}}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{10}}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{10}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{9}{10}$ .

$\frac{9}{10} x^{\frac{9}{10} - 1} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{10}{10}$ .

$\frac{9}{10} x^{\frac{9}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{10}{10}$ .

$\frac{9}{10} x^{\frac{9}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9}{10} x^{\frac{9 - 1 \cdot 10}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Умножим $- 1$ на $10$ .

$\frac{9}{10} x^{\frac{9 - 10}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.2.5.2

Вычтем $10$ из $9$ .

$\frac{9}{10} x^{\frac{- 1}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{9}{10} x^{- \frac{1}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.3

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{9}{10} x^{- \frac{1}{10}} + 0$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9}{10} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{10}}} + 0$

Этап 1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Умножим $\frac{9}{10}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{10}}}$ .

$\frac{9}{10 x^{\frac{1}{10}}} + 0$

Этап 1.4.2.2

Добавим $\frac{9}{10 x^{\frac{1}{10}}}$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{9}{10 x^{\frac{1}{10}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{9}{10}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{9}{10 x^{\frac{1}{10}}}$ по $x$ равна $\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{10}}}]$ .

$\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{10}}}]$

Этап 2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{10}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{10}})}^{- 1}$ .

$\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{10}})}^{- 1}]$

Этап 2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{10}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{10} \cdot - 1}]$

Этап 2.2.2.2

Объединим $\frac{1}{10}$ и $- 1$ .

$\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{10}}]$

Этап 2.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{10}}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{10}$ .

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{- \frac{1}{10} - 1})$

Этап 2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{10}{10}$ .

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{- \frac{1}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}})$

Этап 2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{10}{10}$ .

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{- \frac{1}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}})$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 10}{10}})$

Этап 2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $- 1$ на $10$ .

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{\frac{- 1 - 10}{10}})$

Этап 2.7.2

Вычтем $10$ из $- 1$ .

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{\frac{- 11}{10}})$

Этап 2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{- \frac{11}{10}})$

Этап 2.9

Объединим $x^{- \frac{11}{10}}$ и $\frac{1}{10}$ .

$\frac{9}{10} (- \frac{x^{- \frac{11}{10}}}{10})$

Этап 2.10

Умножим $\frac{9}{10}$ на $\frac{x^{- \frac{11}{10}}}{10}$ .

$- \frac{9 x^{- \frac{11}{10}}}{10 \cdot 10}$

Этап 2.11

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Умножим $10$ на $10$ .

$- \frac{9 x^{- \frac{11}{10}}}{100}$

Этап 2.11.2

Перенесем $x^{- \frac{11}{10}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{100 x^{\frac{11}{10}}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- \frac{9}{100}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{9}{100 x^{\frac{11}{10}}}$ по $x$ равна $- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{11}{10}}}]$ .

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{11}{10}}}]$

Этап 3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{11}{10}}}$ в виде ${(x^{\frac{11}{10}})}^{- 1}$ .

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{11}{10}})}^{- 1}]$

Этап 3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{11}{10}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [x^{\frac{11}{10} \cdot - 1}]$

Этап 3.2.2.2

Умножим $\frac{11}{10} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Объединим $\frac{11}{10}$ и $- 1$ .

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [x^{\frac{11 \cdot - 1}{10}}]$

Этап 3.2.2.2.2

Умножим $11$ на $- 1$ .

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 11}{10}}]$

Этап 3.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{11}{10}}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{11}{10}$ .

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{- \frac{11}{10} - 1})$

Этап 3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{10}{10}$ .

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{- \frac{11}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}})$

Этап 3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{10}{10}$ .

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{- \frac{11}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}})$

Этап 3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{\frac{- 11 - 1 \cdot 10}{10}})$

Этап 3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $- 1$ на $10$ .

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{\frac{- 11 - 10}{10}})$

Этап 3.7.2

Вычтем $10$ из $- 11$ .

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{\frac{- 21}{10}})$

Этап 3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{- \frac{21}{10}})$

Этап 3.9

Объединим $x^{- \frac{21}{10}}$ и $\frac{11}{10}$ .

$- \frac{9}{100} (- \frac{x^{- \frac{21}{10}} \cdot 11}{10})$

Этап 3.10

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{9}{100}) \frac{x^{- \frac{21}{10}} \cdot 11}{10}$

Этап 3.10.2

Умножим $\frac{9}{100}$ на $1$ .

$\frac{9}{100} \cdot \frac{x^{- \frac{21}{10}} \cdot 11}{10}$

Этап 3.11

Умножим $\frac{9}{100}$ на $\frac{x^{- \frac{21}{10}} \cdot 11}{10}$ .

$\frac{9 (x^{- \frac{21}{10}} \cdot 11)}{100 \cdot 10}$

Этап 3.12

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Умножим $11$ на $9$ .

$\frac{99 x^{- \frac{21}{10}}}{100 \cdot 10}$

Этап 3.12.2

Умножим $100$ на $10$ .

$\frac{99 x^{- \frac{21}{10}}}{1000}$

Этап 3.12.3

Перенесем $x^{- \frac{21}{10}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = \frac{99}{1000 x^{\frac{21}{10}}}$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $\frac{99}{1000}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{99}{1000 x^{\frac{21}{10}}}$ по $x$ равна $\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{21}{10}}}]$ .

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{21}{10}}}]$

Этап 4.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{21}{10}}}$ в виде ${(x^{\frac{21}{10}})}^{- 1}$ .

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{21}{10}})}^{- 1}]$

Этап 4.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{21}{10}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [x^{\frac{21}{10} \cdot - 1}]$

Этап 4.2.2.2

Умножим $\frac{21}{10} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Объединим $\frac{21}{10}$ и $- 1$ .

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [x^{\frac{21 \cdot - 1}{10}}]$

Этап 4.2.2.2.2

Умножим $21$ на $- 1$ .

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 21}{10}}]$

Этап 4.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{21}{10}}]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{21}{10}$ .

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{- \frac{21}{10} - 1})$

Этап 4.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{10}{10}$ .

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{- \frac{21}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}})$

Этап 4.5

Объединим $- 1$ и $\frac{10}{10}$ .

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{- \frac{21}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}})$

Этап 4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{\frac{- 21 - 1 \cdot 10}{10}})$

Этап 4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим $- 1$ на $10$ .

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{\frac{- 21 - 10}{10}})$

Этап 4.7.2

Вычтем $10$ из $- 21$ .

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{\frac{- 31}{10}})$

Этап 4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{- \frac{31}{10}})$

Этап 4.9

Объединим $x^{- \frac{31}{10}}$ и $\frac{21}{10}$ .

$\frac{99}{1000} (- \frac{x^{- \frac{31}{10}} \cdot 21}{10})$

Этап 4.10

Умножим $\frac{99}{1000}$ на $\frac{x^{- \frac{31}{10}} \cdot 21}{10}$ .

$- \frac{99 (x^{- \frac{31}{10}} \cdot 21)}{1000 \cdot 10}$

Этап 4.11

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Умножим $21$ на $99$ .

$- \frac{2079 x^{- \frac{31}{10}}}{1000 \cdot 10}$

Этап 4.11.2

Умножим $1000$ на $10$ .

$- \frac{2079 x^{- \frac{31}{10}}}{10000}$

Этап 4.11.3

Перенесем $x^{- \frac{31}{10}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{2079}{10000 x^{\frac{31}{10}}}$

Этап 5

Четвертая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{2079}{10000 x^{\frac{31}{10}}}$ .

$- \frac{2079}{10000 x^{\frac{31}{10}}}$