Математический анализ Примеры

$y = \ln^{12} (x) + \ln (x^{12})$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$y = \ln^{12} (x) + \ln (x^{12})$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln^{12} (x) + \ln (x^{12}))$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $\ln^{12} (x) + \ln (x^{12})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\ln^{12} (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln^{12} (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\ln^{12} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{12}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{12}] \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Этап 4.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 12$ .

$12 {u_{1}}^{11} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Этап 4.2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\ln (x)$ .

$12 \ln^{11} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Этап 4.2.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$12 \ln^{11} (x) \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Этап 4.2.3

Объединим $\frac{1}{x}$ и $12$ .

$\frac{12}{x} \ln^{11} (x) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Этап 4.2.4

Объединим $\frac{12}{x}$ и $\ln^{11} (x)$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{12}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{12}]$

Этап 4.3.1.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{12}]$

Этап 4.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{12}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{1}{x^{12}} \frac{d}{d x} [x^{12}]$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 12$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{1}{x^{12}} (12 x^{11})$

Этап 4.3.3

Объединим $12$ и $\frac{1}{x^{12}}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x^{12}} x^{11}$

Этап 4.3.4

Объединим $\frac{12}{x^{12}}$ и $x^{11}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12 x^{11}}{x^{12}}$

Этап 4.3.5

Сократим общий множитель $x^{11}$ и $x^{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Вынесем множитель $x^{11}$ из $12 x^{11}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{x^{11} \cdot 12}{x^{12}}$

Этап 4.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.1

Вынесем множитель $x^{11}$ из $x^{12}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{x^{11} \cdot 12}{x^{11} x}$

Этап 4.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{x^{11} \cdot 12}{x^{11} x}$

Этап 4.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x}$