Математический анализ Примеры

$y^{6} - 7 x^{5} = 7 x$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y^{6} - 7 x^{5}) = \frac{d}{d x} (7 x)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $y^{6} - 7 x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{6}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$6 y^{5} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$6 y^{5} y' + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x^{5}$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$6 y^{5} y' - 7 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$6 y^{5} y' - 7 (5 x^{4})$

Этап 2.3.3

Умножим $5$ на $- 7$ .

$6 y^{5} y' - 35 x^{4}$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$- 35 x^{4} + 6 y^{5} y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Этап 3.3

Умножим $7$ на $1$ .

$7$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 35 x^{4} + 6 y^{5} y' = 7$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $35 x^{4}$ к обеим частям уравнения.

$6 y^{5} y' = 7 + 35 x^{4}$

Этап 5.2

Разделим каждый член $6 y^{5} y' = 7 + 35 x^{4}$ на $6 y^{5}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $6 y^{5} y' = 7 + 35 x^{4}$ на $6 y^{5}$ .

$\frac{6 y^{5} y'}{6 y^{5}} = \frac{7}{6 y^{5}} + \frac{35 x^{4}}{6 y^{5}}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 y^{5} y'}{6 y^{5}} = \frac{7}{6 y^{5}} + \frac{35 x^{4}}{6 y^{5}}$

Этап 5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{5} y'}{y^{5}} = \frac{7}{6 y^{5}} + \frac{35 x^{4}}{6 y^{5}}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель $y^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{5} y'}{y^{5}} = \frac{7}{6 y^{5}} + \frac{35 x^{4}}{6 y^{5}}$

Этап 5.2.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{7}{6 y^{5}} + \frac{35 x^{4}}{6 y^{5}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7}{6 y^{5}} + \frac{35 x^{4}}{6 y^{5}}$