Математический анализ Примеры

$6 e^{5 t} = 3 e^{2 t}$

Этап 1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (6 e^{5 t}) = \ln (3 e^{2 t})$

Этап 2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\ln (6 e^{5 t})$ в виде $\ln (6) + \ln (e^{5 t})$ .

$\ln (6) + \ln (e^{5 t}) = \ln (3 e^{2 t})$

Этап 2.2

Развернем $\ln (e^{5 t})$ , вынося $5 t$ из логарифма.

$\ln (6) + 5 t \ln (e) = \ln (3 e^{2 t})$

Этап 2.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (6) + 5 t \cdot 1 = \ln (3 e^{2 t})$

Этап 2.4

Умножим $5$ на $1$ .

$\ln (6) + 5 t = \ln (3 e^{2 t})$

Этап 3

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $\ln (3 e^{2 t})$ в виде $\ln (3) + \ln (e^{2 t})$ .

$\ln (6) + 5 t = \ln (3) + \ln (e^{2 t})$

Этап 3.2

Развернем $\ln (e^{2 t})$ , вынося $2 t$ из логарифма.

$\ln (6) + 5 t = \ln (3) + 2 t \ln (e)$

Этап 3.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (6) + 5 t = \ln (3) + 2 t \cdot 1$

Этап 3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\ln (6) + 5 t = \ln (3) + 2 t$

Этап 4

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (6) - \ln (3) = - 5 t + 2 t$

Этап 5

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{6}{3}) = - 5 t + 2 t$

Этап 6

Разделим $6$ на $3$ .

$\ln (2) = - 5 t + 2 t$

Этап 7

Добавим $- 5 t$ и $2 t$ .

$\ln (2) = - 3 t$

Этап 8

Поскольку $t$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$- 3 t = \ln (2)$

Этап 9

Разделим каждый член $- 3 t = \ln (2)$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разделим каждый член $- 3 t = \ln (2)$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 t}{- 3} = \frac{\ln (2)}{- 3}$

Этап 9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 t}{- 3} = \frac{\ln (2)}{- 3}$

Этап 9.2.1.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{\ln (2)}{- 3}$

Этап 9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$t = - \frac{\ln (2)}{3}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$t = - \frac{\ln (2)}{3}$

Десятичная форма:

$t = - 0.23104906 \dots$