Математический анализ Примеры

$7 \cdot 3^{t} = 5 \cdot 2^{t}$

Этап 1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (7 \cdot 3^{t}) = \ln (5 \cdot 2^{t})$

Этап 2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\ln (7 \cdot 3^{t})$ в виде $\ln (7) + \ln (3^{t})$ .

$\ln (7) + \ln (3^{t}) = \ln (5 \cdot 2^{t})$

Этап 2.2

Развернем $\ln (3^{t})$ , вынося $t$ из логарифма.

$\ln (7) + t \ln (3) = \ln (5 \cdot 2^{t})$

Этап 3

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $\ln (5 \cdot 2^{t})$ в виде $\ln (5) + \ln (2^{t})$ .

$\ln (7) + t \ln (3) = \ln (5) + \ln (2^{t})$

Этап 3.2

Развернем $\ln (2^{t})$ , вынося $t$ из логарифма.

$\ln (7) + t \ln (3) = \ln (5) + t \ln (2)$

Этап 4

Изменим порядок $\ln (7)$ и $t \ln (3)$ .

$t \ln (3) + \ln (7) = \ln (5) + t \ln (2)$

Этап 5

Изменим порядок $\ln (5)$ и $t \ln (2)$ .

$t \ln (3) + \ln (7) = t \ln (2) + \ln (5)$

Этап 6

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$t \ln (3) + \ln (7) - t \ln (2) - \ln (5) = 0$

Этап 7

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$t \ln (3) - t \ln (2) + \ln (\frac{7}{5}) = 0$

Этап 8

Вычтем $\ln (\frac{7}{5})$ из обеих частей уравнения.

$t \ln (3) - t \ln (2) = - \ln (\frac{7}{5})$

Этап 9

Вынесем множитель $t$ из $t \ln (3) - t \ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $t$ из $t \ln (3)$ .

$t (\ln (3)) - t \ln (2) = - \ln (\frac{7}{5})$

Этап 9.2

Вынесем множитель $t$ из $- t \ln (2)$ .

$t (\ln (3)) + t (- 1 \ln (2)) = - \ln (\frac{7}{5})$

Этап 9.3

Вынесем множитель $t$ из $t (\ln (3)) + t (- 1 \ln (2))$ .

$t (\ln (3) - 1 \ln (2)) = - \ln (\frac{7}{5})$

Этап 10

Перепишем $- 1 \ln (2)$ в виде $- \ln (2)$ .

$t (\ln (3) - \ln (2)) = - \ln (\frac{7}{5})$

Этап 11

Разделим каждый член $t (\ln (3) - \ln (2)) = - \ln (\frac{7}{5})$ на $\ln (3) - \ln (2)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Разделим каждый член $t (\ln (3) - \ln (2)) = - \ln (\frac{7}{5})$ на $\ln (3) - \ln (2)$ .

$\frac{t (\ln (3) - \ln (2))}{\ln (3) - \ln (2)} = \frac{- \ln (\frac{7}{5})}{\ln (3) - \ln (2)}$

Этап 11.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Сократим общий множитель $\ln (3) - \ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{t (\ln (3) - \ln (2))}{\ln (3) - \ln (2)} = \frac{- \ln (\frac{7}{5})}{\ln (3) - \ln (2)}$

Этап 11.2.1.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{- \ln (\frac{7}{5})}{\ln (3) - \ln (2)}$

Этап 11.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$t = - \frac{\ln (\frac{7}{5})}{\ln (3) - \ln (2)}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$t = - \frac{\ln (\frac{7}{5})}{\ln (3) - \ln (2)}$

Десятичная форма:

$t = - 0.82984264 \dots$