Математический анализ Примеры

$\log (4 p + 1) + \log (p) = \log (3)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((4 p + 1) p) = \log (3)$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (4 p \cdot p + 1 p) = \log (3)$

Этап 1.3

Умножим $p$ на $p$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перенесем $p$ .

$\log (4 (p \cdot p) + 1 p) = \log (3)$

Этап 1.3.2

Умножим $p$ на $p$ .

$\log (4 p^{2} + 1 p) = \log (3)$

Этап 1.4

Умножим $p$ на $1$ .

$\log (4 p^{2} + p) = \log (3)$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$4 p^{2} + p = 3$

Этап 3

Решим относительно $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$4 p^{2} + p - 3 = 0$

Этап 3.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим на $1$ .

$4 p^{2} + 1 p - 3 = 0$

Этап 3.2.1.2

Запишем $1$ как $- 3$ плюс $4$

$4 p^{2} + (- 3 + 4) p - 3 = 0$

Этап 3.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 p^{2} - 3 p + 4 p - 3 = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 p^{2} - 3 p) + 4 p - 3 = 0$

Этап 3.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$p (4 p - 3) + 1 (4 p - 3) = 0$

Этап 3.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 p - 3$ .

$(4 p - 3) (p + 1) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 p - 3 = 0$

$p + 1 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $4 p - 3$ к $0$ , затем решим относительно $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $4 p - 3$ к $0$ .

$4 p - 3 = 0$

Этап 3.4.2

Решим $4 p - 3 = 0$ относительно $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$4 p = 3$

Этап 3.4.2.2

Разделим каждый член $4 p = 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Разделим каждый член $4 p = 3$ на $4$ .

$\frac{4 p}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 3.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 p}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 3.4.2.2.2.1.2

Разделим $p$ на $1$ .

$p = \frac{3}{4}$

Этап 3.5

Приравняем $p + 1$ к $0$ , затем решим относительно $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $p + 1$ к $0$ .

$p + 1 = 0$

Этап 3.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$p = - 1$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 p - 3) (p + 1) = 0$ верно.

$p = \frac{3}{4}, - 1$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log (4 p + 1) + \log (p) = \log (3)$ истинным.

$p = \frac{3}{4}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$p = \frac{3}{4}$

Десятичная форма:

$p = 0.75$