Математический анализ Примеры

$| \frac{1 - 2 x}{x} | = 3 x$

Этап 1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$\frac{1 - 2 x}{x} = \pm 3 x$

Этап 2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\frac{1 - 2 x}{x} = 3 x$

Этап 2.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, 1$

Этап 2.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 2.3

Каждый член в $\frac{1 - 2 x}{x} = 3 x$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим каждый член $\frac{1 - 2 x}{x} = 3 x$ на $x$ .

$\frac{1 - 2 x}{x} x = 3 x \cdot x$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 - 2 x}{x} x = 3 x \cdot x$

Этап 2.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 - 2 x = 3 x \cdot x$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Перенесем $x$ .

$1 - 2 x = 3 (x \cdot x)$

Этап 2.3.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$1 - 2 x = 3 x^{2}$

Этап 2.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$1 - 2 x - 3 x^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $1 - 2 x - 3 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1.1

Перенесем $1$ .

$- 2 x - 3 x^{2} + 1 = 0$

Этап 2.4.2.1.1.2

Изменим порядок $- 2 x$ и $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Этап 2.4.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) - 2 x + 1 = 0$

Этап 2.4.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$- (3 x^{2}) - (2 x) + 1 = 0$

Этап 2.4.2.1.4

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$- (3 x^{2}) - (2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 2.4.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - (2 x)$ .

$- (3 x^{2} + 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 2.4.2.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)$ .

$- (3 x^{2} + 2 x - 1) = 0$

Этап 2.4.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ , а сумма — $b = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$- (3 x^{2} + 2 (x) - 1) = 0$

Этап 2.4.2.2.1.1.2

Запишем $2$ как $- 1$ плюс $3$

$- (3 x^{2} + (- 1 + 3) x - 1) = 0$

Этап 2.4.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (3 x^{2} - 1 x + 3 x - 1) = 0$

Этап 2.4.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((3 x^{2} - 1 x) + 3 x - 1) = 0$

Этап 2.4.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1)) = 0$

Этап 2.4.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 1$ .

$- ((3 x - 1) (x + 1)) = 0$

Этап 2.4.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (3 x - 1) (x + 1) = 0$

Этап 2.4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 2.4.4

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Этап 2.4.4.2

Решим $3 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 1$

Этап 2.4.4.2.2

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 2.4.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 2.4.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Этап 2.4.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.4.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (3 x - 1) (x + 1) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Этап 2.5

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\frac{1 - 2 x}{x} = - 3 x$

Этап 2.6

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, 1$

Этап 2.6.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 2.7

Каждый член в $\frac{1 - 2 x}{x} = - 3 x$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим каждый член $\frac{1 - 2 x}{x} = - 3 x$ на $x$ .

$\frac{1 - 2 x}{x} x = - 3 x \cdot x$

Этап 2.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 - 2 x}{x} x = - 3 x \cdot x$

Этап 2.7.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 - 2 x = - 3 x \cdot x$

Этап 2.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1.1

Перенесем $x$ .

$1 - 2 x = - 3 (x \cdot x)$

Этап 2.7.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$1 - 2 x = - 3 x^{2}$

Этап 2.8

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Добавим $3 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$1 - 2 x + 3 x^{2} = 0$

Этап 2.8.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.8.3

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 2$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.4.1.2.2

Умножим $- 12$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.4.1.3

Вычтем $12$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.4.1.4

Перепишем $- 8$ в виде $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (8)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.4.1.7

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.4.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.4.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Этап 2.8.4.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Этап 2.8.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

Этап 2.9

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{1}{3}, - 1, \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$